浙江省浙大附中2015年高考数学全真模拟试卷（理科）（解析版）(4)

15．已知关于x的方程是 0＜k≤1 ．

【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用．

在区间[k﹣1，k+1]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围

【分析】将方程转化为两个函数f（x）=|x﹣k|，g（x）=性质，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由方程可知k≥0， 设f（x）=|x﹣k|，g（x）=

，

，根据绝对值函数和根式函数的图象和

则函数f（x）在[k﹣1，k]上单调递减，在[k，k+1]上递增，g（x）在区间[k﹣1，k+1]上单调递增， 要使关于x的方程

在区间[k﹣1，k+1]上有两个不相等的实根，

即函数f（x）与g（x）在区间[k﹣1，k+1]上有两个交点， 由图象可知，

，

即，

则只需要?k≤1成立即可，此时0≤k≤1，

当k=0时，不等式等价为|x|=0，在区间[﹣1，1]上只有一个交点，不满足条件， 故0＜k≤1． 故答案为：0＜k≤1．

【点评】本题主要考查方程根的应用，利用方程和函数之间的关系转化为两个函数图象之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

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三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得sinB的值，利用2

asinB=5c求得a和c的关系，进而利用

，求△ABC的面积．

asinB=5c，cosB=

．

正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得sinA和cosA的关系，求得tanA的值，进而求得A．

（Ⅱ）利用余弦定理求得c，进而求得b，最后根据三角形面积公式求得答案． 【解答】解：（ I）在△ABC中，∵∴∵∴2

?a?

，

， =5c

，

∴3a=7c， ∵

，

∴3sinA=7sinC， ∴3sinA=7sin（A+B），

∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，即3sinA=7?sinA?∴﹣sinA=∴（Ⅱ）∵又3a=7c，∴BD=∴

∴c=3，则a=7， ∴

．

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+7cosA

cosA， ，即

．

，

=

，

，

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．

17．如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC． （Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；

（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【专题】空间角．

【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明； （Ⅱ）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出．

方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角． 【解答】解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D， ∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC， 又∵PA⊥平面ABC，

∴QD∥PA，又∵QD?平面QBC，PA?平面QBC， ∴PA∥平面QBC．

（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，

∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ， ∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．

∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC， ∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD， ∴四边形PADQ是矩形． 设PA=2a，

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∴，PB=2a，∴．

过Q作QR⊥PB于点R， ∴QR=

=

，

==，

取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN， ∵PR=

，

，∴MA∥RN．

∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB． ∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角． 连接QN，则QN=

=

=

．又

，

∴cos∠QRN===．

即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥平面QBC，

．

∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ， ∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．

∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC． ∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD， ∴四边形PADQ是矩形．

分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz． 不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2）， 设平面QPB的法向量为∵∴

=（1，1，0），

．

=（0，2，﹣2）．

令x=1，则y=z=﹣1．

又∵平面PAB的法向量为．

设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|=

=

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=

又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角 ∴

．

【点评】熟练掌握线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理、二面角的定义及通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量所成的夹角来求二面角的平面角是解题的关键．

18．已知直线（1+3m）x﹣（3﹣2m）y﹣（1+3m）=0（m∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为3． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若

，求直线l的斜率的取值范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程． 【专题】计算题．

【分析】（I）条件中给出一个直线系，需要先做出直线所过的定点，根据定点是椭圆的焦点，写出椭圆中三个字母系数要满足的条件，解方程组得到结果，写出椭圆的方程．

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