线性代数B期末试卷及答案(3)

?1?(1,1,?1)T, ?2?(?1,1,1)T，试给出方程组的通解．

解：（1）因为

1a11a21a31a4a122a22a32a4a133a2?(a2?a1)(a3?a1)(a3?a2)(a4?a1)(a4?a2)(a4?a3)?0，3a33a4故R(A?b)?R(A)，无解． （2）R(A)?2，n?3，故通解

??2??1????1?,(k?R)．

x?k(ξ2?ξ1)?ξ1?k?0??????2?????1?? 得 分

五、（本题满分8分）设二次曲面的方程axy?2xz?2byz?1）

?x??????Q???，化成222a?0经正交变换?y????2??1，求a、b的值及???????z??????正交矩阵Q.

??0?a解：设A???2?1???a20b?1??b?，由A?E?0,A?2E?0知a?2,b??1． ?0?????1??0~??01???0t0，，??(1,1,0)1?0??011??1??1??1?1当??1时，A?E????1??1?1????2?(1,?1,2)T

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?101??T01?1当???2时，A?2E~???(?1,1,1). 3????000??1?1??1??263???11??1故正交阵Q??. ?63??221??0?63?得 分 ??

六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实

特征值λ的特征向量，β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．

证 ：依题意得Aα=λα， ATβ=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αTAT =λαT，在上式的两边右乘β得，αTATβ =λαTβ，即μαTβ=λαTβ，亦即（μ-λ）αTβ=0，由于λ≠μ，所以αTβ=0，故α与β正交．

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