极主动地获取知识，使学生的探究欲望及精神状态始终处于最佳状态．在整个教案设计中学生的思维活动量大，这是贯穿整个教案始终的一条主线，也应是实际课堂教学中的一条主线．
备课资料
一、与解三角形有关的几个问题 1．向量方法证明三角形中的射影定理
如图，在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c.
→→→
∵AC＋CB＝AB，
→→→→→∴AC2(AC＋CB)＝AC2AB. →→→→→→∴AC2AC＋AC2CB＝AC2AB.
→2→→→→
∴|AC|＋|AC||CB|cos(180°－C)＝|AB||AC|cosA. →→→
∴|AC|－|CB|cosC＝|AB|cosA. ∴b－acosC＝ccosA， 即b＝ccosA＋acosC.
同理，得a＝bcosC＋ccosB，c＝bcosA＋acosB. 上述三式称为三角形中的射影定理． 2．解斜三角形题型分析
正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解．
关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型： (1)已知两角及其中一个角的对边，如A、B、a，解△ABC. 解：①根据A＋B＋C＝π，求出角C； ②根据
abac
＝及＝，求b、c. sinAsinBsinAsinC
如果已知的是两角和它们的夹边，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②来求解．求解过程中尽可能应用已知元素．
11
(2)已知两边和它们的夹角，如a、b、C，解△ABC. 解：①根据c＝a＋b－2abcosC，求出边c； b＋c－a
②根据cosA＝，求出角A；
2bc③由B＝180°－A－C，求出角B.
求出第三边c后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐角，应先求较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可以用余弦定理求解．
(3)已知两边及其中一条边所对的角，如a、b、A，解△ABC. 解：①
ab＝，经过讨论求出B； sinAsinB
2
2
2
2
2
2
②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出角C； ac
③再根据＝，求出边c.
sinAsinC(4)已知三边a、b、c，解△ABC.
解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角．
另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需注意要先求较小边所对的锐角．
(5)已知三角，解△ABC.
解：满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一． 3．“可解三角形”与“需解三角形”
解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容，也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题，往往不知如何下手．至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量．但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了．
所谓“可解三角形”，是指已经具有三个元素(至少有一边)的三角形；而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形．当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时，一般来说其中必有一个三角形是可解的，我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角，从而使“需解三角形”可解．在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正确地判断它们的类型，合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具，求出需求元素，并确定解的情况．
“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间．一题
12
到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底．分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究．
二、备用习题
722
1．△ABC中，已知b－bc－2c＝0，a＝6，cosA＝，则△ABC的面积S为( )
8A.
15
B.15 C．2 D．3 2
2
2
2．已知一个三角形的三边为a、b和a＋b＋ab，则这个三角形的最大角是( ) A．75° B．90° C．120° D．150° 3．已知锐角三角形的两边长为2和3，那么第三边长x的取值范围是( )
A．(1,5) B．(1，5) C．(5，5) D．(5，13)
4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
5．(1)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a＝3，b＝3，C＝30°，则A＝__________.
(2)在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为__________．
6．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，并且sinC＝2sinBcosA，试判断△ABC的形状．
A22
7．在△ABC中，设三角形面积为S，若S＝a－(b－c)，求tan的值．
2参考答案：
1．A 解析：由b－bc－2c＝0，即(b＋c)(b－2c)＝0，得b＝2c；① 722222
由余弦定理，得a＝b＋c－2bccosA，即6＝b＋c－bc.②
4解①②，得b＝4，c＝2. 715
由cosA＝，得sinA＝，
88
111515
∴S△ABC＝bcsinA＝34323＝.
2282
2．C 解析：设最大角为θ，由余弦定理，得a＋b＋ab＝a＋b－2abcosθ，
2
2
2
2
2
2
13
1
∴cosθ＝－.∴θ＝120°.
2
4＋9－x2
3．D 解析：若x为最大边，由余弦定理，知＞0，即x＜13，∴0＜x＜13.
2
23233若x为最小边，则由余弦定理知4＋x2
－9＞0，即x2
＞5， ∴x＞5.综上，知x的取值范围是5＜x＜13.
4．A 解析：设直角三角形的三边为a，b，c，其中c为斜边，增加长度为x. 则c＋x为新三角形的最长边．设其所对的角为θ，由余弦定理知， 2
2
2
2
cosθ＝?a＋x?＋?b＋x?－?c＋x?2?a＋b－c?x＋x
2?a＋x??b＋x?＝2?a＋x??b＋x?＞0.
∴θ为锐角，即新三角形为锐角三角形．
5．(1)30° (2)61
2 解析：(1)∵a＝3，b＝3，C＝30°，由余弦定理，有
c2
＝a2
＋b2
－2abcosC＝3＋9－2333333
2
＝3， ∴a＝c，则A＝C＝30°.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2)∵bccosA＋cacosB＋abcosC＝b＋c－ac＋a－ba＋b－c
2＋2＋2
2
2
2
2
2
2
＝a＋b＋c2＝3＋4＋661
2＝2. 6．解：由正弦定理，得sinCsinB＝cb
，
由sinC＝2sinBcosA，得cosA＝sinC2sinB＝c
2b，
2
2
2
又根据余弦定理，得cosA＝b＋c－a
2bc，
2
2
2
故cb＋c－a22222b＝2bc，即c＝b＋c－a. 于是，得b2
＝a2
，故b＝a. 又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
故(a＋b)2
－c2
＝3ab.由a＝b，得4b2
－c2
＝3b2
， 所以b2
＝c2，即b＝c.故a＝b＝c. 因此△ABC为正三角形．
7．解：S＝a2－(b－c)2
，又S＝12bcsinA，
∴12bcsinA＝a2－(b－c)2
， 2
2
2
有1－?b＋4sinA＝c－a?2bc
＋1， 14
1AA
即22sin2cos＝1－cosA. 4221AA2A∴2sin2cos＝2sin. 2222
A1AAA1∵sin≠0，故cos＝2sin，∴tan＝.
222224
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回顾正弦定理、余弦定理的内容及表达式，回顾上两节课所解决的解三角形问题，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并结合三角、向量、几何等知识我们会探究出什么样的解题规律呢？由此展开新课．
思路2.(问题导入)我们在应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其一边的对角往往得出不同情形的解，有时有一解，有时有两解，有时又无解，这究竟是怎么回事呢？本节课我们从一般情形入手，结合图形对这一问题进行进一步的探究，由此展开新课．
推进新课
新知探究 提出问题
?1?回忆正弦定理、余弦定理及其另一种形式的表达式，并用文字语言叙述其内容.能写出定理的哪些变式？
?2?正、余弦定理各适合解决哪类解三角形问题？ ?3?解三角形常用的有关三角形的定理、性质还有哪些？
?4?为什么有时解三角形会出现矛盾，即无解呢？比如：,①已知在△ABC中，a＝22 cm，b＝25 cm，A＝135°，解三角形；,②已知三条边分别是3 cm，4 cm，7 cm，解三角形.
活动：结合课件、幻灯片等，教师可把学生分成几组互相提问正弦定理、余弦定理的内容是什么？各式中有几个量？有什么作用？用方程的思想写出所有的变形(包括文字叙述)，让学生回答正、余弦定理各适合解决的解三角形类型问题、三角形内角和定理、三角形面积定理等．可让学生填写下表中的相关内容：
解斜三角形时可 适用类型 用的定理和公式 余弦定理 (1)已知三边 类型(1)(2)有解时只有一解 备注 15
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