2014中考数学真题试卷题型分类汇编一元二次方程及其应用(3)

解得：x≤2． 答：从今年年初起每年新增电动车数量最多是2万辆； （2）∵今年年底电动车拥有量为：（10﹣1）+x=11（万辆）， 明年年底电动车拥有量为：11.9万辆， ∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是y，则11（1+y）=11.9， 解得：y≈0.082=8.2%． 答：今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2%． 点评：此 题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，分别表示出今年与明年电动车数量是解题关键．

2．（（2014?新疆，第19题10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

考点： 一元二次方程的应用． 专题： 几何图形问题． 分析： 设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程． 解答： 解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米． 11

点评： 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

3.2014年广东汕尾，第22题9分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0 （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

分析：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．

解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=； 方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1x1=﹣，x1=﹣． （2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．

4.（2014?毕节地区，第25题12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次． 考点： 分析： 二次函数的应用；一元二次方程的应用 （1）每件的利润为6+2（x﹣1），生产件数为95﹣5（x﹣1），则y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]； （2）由题意可令y=1120，求出x的实际值即可． 解答： 解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件． ∴第x档次，提高的档次是x﹣1档． ∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]， 即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；

12

（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120 整理得：x2﹣18x+72=0 解得：x1=6，x2=12（舍去）． 答：该产品的质量档次为第6档． 点评： 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=

5.（2014?襄阳，第16题3分）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 5 ． 考点： 一元二次方程的解 分析： 把x=a代入方程x2﹣5x+m=0，得a2﹣5a+m=0①，把x=﹣a代入方程方程x2+5x﹣m=0，得a2﹣5a﹣m=0②，再将①+②，即可求出a的值． 解答： 解：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根， ∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②， ①+②，得2（a2﹣5a）=0， ∵a＞0， ∴a=5． 故答案为5． 点评： 本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

6. （2014?湘潭，第26题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4， （1）求二次函数解析式；

时取得． 13

（2）若=，求k；

（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．

（第1题图）

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）由对称轴为x=﹣，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式． （2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得． （3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB?FC=EO?FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值． 解答： 解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点， ∴﹣∴b=4，c=0， ∴y=﹣x2+4x． （2）如图1，连接OB，OC，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F， =2，0=0+0+c， 14

∵=， ∴=， ∴=， ∵EB∥FC， ∴==． ∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C， ∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0， ∴△=（k﹣4）2﹣4?4=k2﹣8k， ∴x=，或x=， ∵xB＜xC， ∴EB=xB=，FC=xC=，∴4?=， 解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1． ∴k=﹣1． （3）∵∠BOC=90°， ∴∠EOB+∠FOC=90°， ∵∠EOB+∠EBO=90°， ∴∠EBO=∠FOC， 15

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