复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案(6)

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

f(z)?1f(?)f(?)[?d?-d?]???CCR2πi??z??z

f(??z)??R因为??z 在上解析，且

???lim??f(?)1?limf(?)??limf(?)?1z?????z???1??

所以，当Z在C外部时，有

f(z)?A?1f(?)?C??zd?2πi?

1f(?)??C??zd???f(z)?A2πi即

设Z在C内，则f(z)=0，即

0?1f(?)f(?)[?d????C??zd?]2πi?CR??z

1f(?)??C??zd??A2πi故有：

习题四

1. 复级数?an与?bn都发散,则级数?(an?bn)和

n?1n?1n?1????ab发散.这个命题是否成立?为什么?

?nnn?1答.不一定．反例: ???11?11an???i2,?bn????i2发散 ?nn?1nnn?1n?1nn?1但?(an?bn)??i?n?1n?1????2收敛 2n2发散

(a?b)???nnn?1n?1n??11anbn??[?(2?4)]收敛. ?nnn?1n?12.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

??n1?i2n?11?5in) (3) ?e (1)? (2)?(n2nn?1n?1n?1iπ??incosin(4) ? (5) ?n

2n?1lnnn?0?1?i2n?1?1?(?1)n?i?1(?1)n??????i 解 (1) ?nnnn?1n?1n?1n??11?i2n?1因为?发散,所以?发散

nn?1nn?1? 26 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

?1?5i26n?()发散 (2)??22n?1n?1?n1?5in15nlim()?lim(?i)?0 又因为n??n??2221?5i()发散 所以?2n?1??ee1(3) ??发散,又因为????nn?1n?1n?1nn?1nπin?n?iπn?cosππ?isin?1ππnn?(cos?isin)收敛,所以不绝对收敛. ?nnnn?1n(4)

?n?1??in1?? lnnn?1lnn11?因为

lnnn?1

所以级数不绝对收敛. 又因为当n=2k时, 级数化为

(?1)kln2k?k?1?收敛

k?当n=2k+1时, 级数化为?(?1)也收敛

k?1ln(2k?1)所以原级数条件收敛

cosin?1en?e?n1?en1?1n??()??() (5) ?n??n?222n?022n?02en?0n?02?1ne其中?()n 发散,?()收敛

n?02en?02??所以原级数发散.

?3.证明:若Re(an)?0,且?an和?an2收敛,则级数?an2绝对收敛.

??n?1n?1n?1证明:设

222an?xn?iyn,an?(xn?iyn)2?xn?yn?2xnyni

因为

?an和?an2收敛

n?1n?1??所以?xn,?yn,?(xn?yn),?xnyn收敛

2n?1n?1n?1n?1????又因为Re(an)?0,

xn?limxn?0 所以xn?0且limn??n??2 27 / 66

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当n充分大时, xn?xn

2所以

2?xn?1?2n收敛

22222an?xn?yn?2xn?(xn?yn)

而

?2xn?1??2n收敛，

?(xn?1?2n2?yn)收敛

所以

?an?12n收敛，从而级数

?an?1?2n绝对收敛.

4.讨论级数?(zn?1?zn)的敛散性

n?0?k?1kn?1时,sn??1 解 因为部分和sn??(z?z)?z?1，所以，当z?1k?0n当z?1时,sn?0，当z??1时,sn不存在.

i?当z?e而??0时（即z?1,z?1），cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．

当z>1时,sn??.

故当z?1和z?1时,

??(zn?0?n?1?zn)收敛.

5.幂级数

?C(z?2)nn?0n能否在z=0处收敛而在z=3处发散.

解： 设limn??Cn?111??，则当z?2?时，级数收敛，z?2?时发散. Cn??若在z=0处收敛,则

1??2

若在z=3处发散, 则

1??1

?显然矛盾,所以幂级数

?C(z?2)nn?0n不能在z=0处收敛而在z=3处发散

6.下列说法是否正确?为什么?

(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.

(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.

答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.

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7.若

?Cznn?0?n的收敛半径为R,求

?bn?0?Cnnzn的收敛半径。

Cn?1Cn?1111bn?1lim?lim??解： 因为n?? Cnn??CbRbnbn所以 R??R?b 8.证明：若幂级数

?aznn?0?n的 系数满足limn??nan??，则

1(1)当0?????时, R?

?(2) 当??0时, R??? (3) 当????时, R?0 证明：考虑正项级数

?aznn?0?n?a1z?a2z2?...?anzn?...

nnazn?limna?nz???z，若0?????，由正项级数的根值判别法知，当??z?1时，即由于limnnn??n??z?1?时，?anzn收敛。当??z?1时，即z?n?0?1?时，anzn不能趋于零,limnanzn?1级数发散.故收

n??2敛半径R?1?.

当??0时, ??z?1,级数收敛且R???.

n若????,对?z?0,当充分大时,必有anz不能趋于零,级数发散.且R?0

2

9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。

n(1)?(z?pi) n?0n? (2)

n?0

?n?12n?1?z2n?1(3) ?(?i)?2nn?0

?n?p?zninn(n?1)((4) ?)?(z?1)n?0n

解: (１)

?limn??1(n?1)pnp1p1?lim()?lim(1?)?1pn??n??nn?1n?1?R?1z?i?1

收敛圆周

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(2)

(n?1)plim?1pn??nR?1所以收敛圆周

z?1

n?1f(z)?(?i)?(3) 记 n2n?12n?1?z n22n?1由比值法,有

(2n?1)?2n?zfn?1(z)12lim?lim?z2n?1n??n??fn(z)2(2n?1)?22n?1?z

要级数收敛,则

z?2 级数绝对收敛,收敛半径为

R?2

所以收敛圆周

z?2 inf(z)?()?(z?1)n(n?1)(4) 记 nn

limnfn(z)?limnn??n??z?1(z?1)n(n?1)?limn??nnnn?1???,??????若????1若????1

所以

z?1?1时绝对收敛,收敛半径R?1

z?1?1

收敛圆周

10.求下列级数的和函数. (1)

n?1?(?1)?n?1z2n?nz (2)?(?1)?(2n)! n?0n?n解: (1)

limn??Cn?1n?1?lim?1n??nCn

故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：

?z?0?(?1)nzdz??(?1)nzn?nn-1n?1n?1?z1?z

所以

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