一次函数几何综合题

一次函数几何综合题

1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半

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轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）． （1）求点D的坐标．

（2）求直线BC的解析式．

（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】 【解析】 试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可； （2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．

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试题解析：（1）x﹣7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， ∵OA＞OB， ∴OA=4，OB=3，

过D作DE⊥y于点E， ∵正方形ABCD，

∴AD=AB，∠DAB=90°， ∠DAE+∠OAB=90°， ∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠ABO=∠DAE， ∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°=∠AOB， ∵DE⊥AE

∴∠AED=90°=∠AOB， ∴△DAE≌△ABO（AAS），

∴DE=OA=4，AE=OB=3， ∴OE=7， ∴D（4，7）；

（2）过点C作CM⊥x轴于点M， 同上可证得△BCM≌△ABO， ∴CM=OB=3，BM=OA=4， ∴OM=7， ∴C（7，3），

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数）， 代入B（3，0），C（7，3）得，??7k?b?3，

?3k?b?03?k???4解得?，

?b??9?4?∴y=

39x﹣； 44（3）存在．

点P与点B重合时，P1（3，0），

点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．

考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数 2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△AOB的斜边OB在x上，顶点A的坐标为（3，3）.

（1）求直线OA的解析式；

（2）如图2，如果点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PC∥y轴，交直线OA于点C，设点P的坐标为（m，0），以A、C、P、B为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式；

（3）如图3，如果点D（2，a）在直线AB上. 过点O、D作直线OD，交直线PC于点E，在CE的右侧作矩形CGFE，其中CG=，请你直接写出矩形CGFE与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.

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图1 图2 图3 【答案】 【解析】 试题分析：（1）设直线OM的解析式为y=kx(k≠0)，根据A（3，3）在直线OA上，得到k=1，即直线OA的解析式y=x．

（2）过点A作AM⊥x轴于点M．已知A点的坐标，即可求出M（3，0），B（6，0），P（m，0），C（m，m），欲求以A、C、P、B为顶点的四边形的面积，需要分情况考虑：①0＜m＜3时，②3＜m＜6时，③m＞6时，根据上述3种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式；

（3）根据等腰直角三角形和等腰三角形的性质，即可求出m的范围． 试题解析：（1）设直线OA的解析式为y=kx． ∵直线OA经过点A（3，3）， ∴3=3k，解得 k=1．

∴直线OA的解析式为y=x． （2）过点A作AM⊥x轴于点M． ∴M（3，0），B（6，0），P（m，0），C（m，m）． 当0＜m＜3时，如答图①．

答图①

S=S△AOB﹣S△COP

11AM?OB﹣OP?PC 221112=?6?3?m?m?9?m． 222=

当3＜m＜6时，如答图②．

答图②

S=S△COB﹣S△AOP

11PC?OB﹣OP?AM 22113=?6?m?m?3?m． 222=

当m＞6时，如答图③．

答图③

S=S△COP﹣S△AOB =

11PC?OP﹣OB?AM 221112=m?m??6?3?m?9． 222（3）当C在直线OA上，G在直线AB上时，矩形CGFE与△AOB重叠部分为轴对称图形，此时m=

9， 49≤m＜3． 4当m=3时C点和A点重合，则矩形CGFE与△AOB无重叠部分 所以m的取值范围时

考点：1、待定系数法；2、等腰直角三角形的性质；3、勾股定理；4、矩形的性质

3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为a．直线y=bx+c交x轴于E，交y轴于F，且a、b、c分别满足-(a-4)≥0，c?b?2?2?b?8

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（1）求直线y=bx+c的解析式并直接写出正方形OABC的对角线的交点D的坐标；

（2）直线y=bx+c沿x轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t秒，问是否存在t的值，使直线EF平分正方形OABC的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

点P为正方形OABC的对角线AC上的动点（端点A、C除外），PM⊥PO，交直线AB于M，求的值

PCBM

【答案】（1）y=2x+8，D（2，2）；（2）存在，5；（3）

2. 2【解析】 试题分析：（1）利用非负数的性质求出a，b，c的值，进而确定出直线y=bx+c，得到正方形的边长，即可确定出D坐标；

（2）存在，理由为：对于直线y=2x+8，令y=0求出x的值，确定出E坐标，根据题意得：当直线EF平移到过D点时正好平分正方形AOBC的面积，设平移后的直线方程为y=2x+t，将D坐标代入求出b的值，确定出平移后直线解析式，进而确定出此直线与x轴的交点，从而求出平移距离，得到t的值；

过P点作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用角平分线定理得到PH=PQ，利用AAS得到三角形OPH与三角形MPQ全等，得到OH=QM，根据四边形CNPG为正方形，得到PG=BQ=CN，由三角形CGP为等腰直角三角形得到CP=2GP=2BM，即可求出所求式子的值． 2试题解析：（1）∵-（a-4）≥0，c?b?2?2?b?8，

2

∴a=4，b=2，c=8，

∴直线y=bx+c的解析式为：y=2x+8，

∵正方形OABC的对角线的交点D，且正方形边长为4， ∴D（2，2）；

（2）存在，理由为： 对于直线y=2x+8， 当y=0时，x=-4，

∴E点的坐标为（-4，0），

根据题意得：当直线EF平移到过D点时正好平分正方形AOBC的面积， 设平移后的直线为y=2x+t，

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