广东省2016年高考数学适应性考试试题 理（全国卷，含解析）(3)

当x?2m且x?1时，f(x)?0，故f(x)有且仅有一个零点．

当m?2时，∵f(x)在(0,x1)及(x2,??)内单调递增，在(x1,x2)内单调递减，

1m?m2?42m?m2?4m(m?m2?4)且f(x1)?( )?ln?2222?m2?mm2?4?2m?m2?4，??ln42?m2?mm2?4?2?m2?m2?2??0，

44m?m2?4440????1（∵m?2），

222(m?m?4)4∴f(x1)?0，由此知f(x2)?f(x1)?0，

而

又∵当x?2m且x?1时，f(x)?0，故f(x)在(0,??)内有且仅有一个零点． 综上所述，当m?0时，f(x)有且仅有一个零点．

（3）假设曲线y?f(x)在点(x,f(x))（x?0）处的切线经过原点，

12x?lnx?mxf(x)12?f?(x)，即?x??m， 则有

xxx12化简得：x?lnx?1?0（x?0）．（*）

2121x2?1记g(x)?x?lnx?1（x?0），则g?(x)?x??，

2xx令g?(x)?0，解得x?1．

当0?x?1时，g?(x)?0，当x?1时，g?(x)?0，

3123∴g(1)?是g(x)的最小值，即当x?0时，x?lnx?1≥．

222由此说明方程（*）无解，∴曲线y?f(x)没有经过原点的切线．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，BC是半圆O的直径，AD?BC，垂足为D，?AB??AF，BF与AD、AO分别交于点E、G．

（1）证明：?DAO??FBC； （2）证明：AE?BE．

【解析】（1）连接FC，OF， ∵?AB??AF，OB?OF，

AGEBDOFCAGEBDOF11

C

∴点G是BF的中点，OG?BF． ∵BC是?O的直径，∴CF?BF． ∴OG//CF．∴?AOB??FCB，

∴?DAO?90???AOB,?FBC?90???FCB， ∴?DAO??FBC．

（2）在Rt?OAD与Rt?OBG中， 由（1）知?DAO??GBO， 又OA?OB，

∴?OAD??OBG，于是OD?OG． ∴AG?OA?OG?OB?OD?BD． 在Rt?AGE与Rt?BDE中， 由于?DAO??FBC，AG?BD，

∴?AGE??BDE，∴AE?BE． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，过点P(1,?2)的直线l的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?sin的交点为A,B．

（1）求直线l的参数方程； （2）求PA?PB．

【解析】（1）∵直线l过点P(1,?2)，且倾斜角为45?．

2???2cos?,直线l和曲线C 12

?x?1?tcos45??∴直线l的参数方程为??y??2?tsin45（t为参数）， ????x?1?2t即直线l的参数方程为??2（t为参数）．

???y??2?22t （2）∵?sin2??2cos?，∴(?sin?)2?2?cos?， ∵?cos??x，?sin??y，

∴曲线C的直角坐标方程为y2?2x，

?? ∵?x?1?2?2t，∴?(?2?2t)2?2(1?2y??2?222t)，

??2t ∴t2?62t?4?0，∴t1t2?4，∴PA?PB?4．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?a?5x．

（1）当a??1时，求不等式f(x)?5x?3的解集； （2）若x??1时有f(x)?0，求a的取值范围． 【解析】（1）当a??1时，不等式f(x)?5x?3， ∴x?1?5x?5x?3， ∴x?1?3，∴?4?x?2．

∴不等式f(x)?5x?3的解集为[?4,2]． （2）若x??1时，有f(x)?0， ∴x?a?5x?0，即x?a??5x，

∴x?a??5x，或x?a?5x，∴a?6x，或a??4x，

∵x??1，∴6x??6，?4x?4，∴a??6，或a?4． ∴a的取值范围是(??,?6]?[4,??)．

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