2009年IMO中国国家队选拔考试试题含答案（第一天，2009年3月31日(2)

即等于给定的s的?i至多有s个.

事实上，设ni?1?ni?s，则ni!?1?ni?1!?1?0(modp)，由此可知(p,ni!)?1，故

(ni?s)(ni?s?1)...(ni?1)?1(modp).

故ni是s次同余方程

(x?s)(x?s?1)...(x?1)?1(modp)

的一个解. 由于p是素数，由拉格朗日定理知，上述同余方程至多有s个解，故满足

ni?1?ni?s的ni至多只有s个值，从而②得证.

现在我们证明，对任意的正整数l，只要假设结论不成立，即?l(l?1)2l(l?1)2?1?k?1，就有?l(l?1)2?l?1.

?1?1?l，那么?1,?2,...,?l(l?1)都是1到l中的正整数. 而由②知，

2?1在?1,?2,...,?l(l?1)中，1至多出现1次，2最多出现2次，…，l至多出现l次，即从1到l2?1的正整数总共至多出现1?2?...?l?是不超过l的正整数矛盾！ 设m是满足

m(m?1)2l(l?1)2次，这与

l(l?1)2?1个数?1,?2,...,?l(l?1)2都

?1?1?k?1的最大正整数，则

m(m?1)2?1?k?1?(m?1)(m?2)2?1 ③

我们有

k?1m?1im?1i(i?1)2?1m?1i(i?1)2??i?1??(?i?0??i(i?1)2?2?...??(i?1)(i?2))?2?(i?1)?i?0??1?(i?1)i?02

?m(m?1)(2m?1)6?m33.

由于k?12，故m?4，因此，结合①，③可得

k?2?(m?1)(m?2)2k?1222?4m?4(3??i)3?4?(3p)3.

i?1这就证明了结论.

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