2018小升初数学思维训练专题十二

2018小学奥数专题一：不定方程的经典题型以及解题方法

不定方程的概念：

当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9中，如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

不定方程的解法：

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

不定方程的经典例题：

例题一：一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？ 解题方法：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。

设大盒子有x个，小盒子有y个，则12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）， y＝（99－12y）÷5

经检验，符合条件的解有（X=12，Y=15）和（X=7，Y=3），所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。

例题二：买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？

解题方法：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：

4x+3y+2×（30－x－y）＝82 x=10-y/2

由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表： 苹果 9 8 7 6 5 4 3 2 1 橘子 2 4 6 8 10 12 14 16 18 梨 19 18 17 16 15 14 13 12 11 例题三：某次快乐学校数学半月考准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？

设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。则： ①6x+3y+2z＝22； ①9x+4y+z＝22；

由②×2－①，得12x+5y＝22

x只能取1。Y＝2，代入①得z＝5，原方程的解为（x=1,y=2,z=5）

所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。

不定方程举一反三练习：

1、快乐学校数学组48人到海埂公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）

2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？

3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？ 4、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？

5、用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）

6、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？

7、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？

8、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？

比和比例问题经典例题及解法

基本知识

两个数相除又叫做两个数的比，例如：9:6=1.5；比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。 应用比的基本性质可以化简比。

关键名词

比的意义、各部分名称（前项、比号、后项、比值）、基本性质、比与分数分关系、比与除法关系、求比值、化简比、正比例、反比例、按比例分配应用题

解题思路

1、根据常见的数量关系式，建立等量关系 2、根据已学过的计算公式，

3、根据题中的重点叙述句从整体上确定基本的等量关系 4、利用线段图、列表法等方法分析数量关系，建立等量关系

经典例题

例题一：已知具体量和比例关系，求某个量或总量。

甲、乙、丙三个同学体重总和是110千克，他们的体重比是4:5:2。最重的一个同学达多少千克？

答题方法：题目已知的具体量是总体重110千克，所以先求出他们的体重和（单位“1”）：4+5+2=11 ；根据问题找出：最重的一个同学占总体重的5/11，得出110×5/11=50（kg）

例题二：利用公式求出比，学会把利用公式把比进行互化。

有大、小两个圆片，它们的面积之和是1991平方厘米，已知大圆周长是小圆周长的1又1/9倍，求小圆的面积是多少？

答题方法：大圆周长是小圆周长的1又1/9倍，可理解为：大圆周长与小圆周长的比是10:9，那么大圆半径与小圆半径的比也为10:9，所以大圆面积与小圆面积的比是102：：92 = 100:81，按比例分配求出小圆面积了。

例题三：A的几分之几等于B的几分之几 。

明明和华华各收集了一些邮票，明明对华华说：“我的邮票比你多64张”，华华说：“我只知道，你邮票数量的一半和我邮票的2/3一样多”，聪明的你能算出他们二人各有多少张邮票吗？

答题方法：根据明明邮票数量的一半和华华邮票的2/3 一样多，列出等式：明明邮票数×1/2= 华华邮票数×2/3 ，根据比例的基本性质求出：明明邮票数：华华邮票数 = 2/3 ：1/2 = 4:3，再按比例分配。

例题四：已知具体量和两个比例关系式（A:B = 1：2，B:C = 2：3），求某个量或总量。

已知甲与乙的比是2：3，乙与丙的比是4：5，如果甲数是80，求乙和丙是多少?

答题方法：把两个比化成连比，由于乙在两个比中的份数不同，需要统一成相同的份数（即两个份数的最小公倍数） 甲：乙 = 2：3 = 8 ：12 乙：丙 = 4：5 = 12 ：15 ， 所以，甲：乙：丙 = 8：12：15

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