2018年四川省绵阳市中考数学试卷(6)

∴t=×（3﹣t）+4， 解得t=

．

，

）．

∴t=3s时，点A恰好落在BC边上点D处，此时D（﹣

（3）如图2中，当0＜t≤5时，△ABC在直线MN右侧部分是△AMN，S=?t?t=t2．

如图3中，当5＜t≤6时，△ABC在直线MN右侧部分是四边形ABNM．

S=×6×4﹣×（6﹣t）?[4﹣（t﹣5）]=﹣t2+

t﹣12．

【点评】本题考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

25．（14分）（2018?绵阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（3）和点B（3

，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．

，﹣

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；

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（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；

（2）设P坐标为（x，x2﹣

x），表示出AD与PD，由相似分两种情况得比

例求出x的值，即可确定出P坐标；

（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上的高h，过O作OM⊥OA，截取OM=h，与y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物线解析式联立求出Q坐标即可． 【解答】解：（1）把A（解得：a=，b=﹣

，﹣3）和点B（3，

x；

，0）代入抛物线得：

，

则抛物线解析式为y=x2﹣（2）当P在直线AD上方时， 设P坐标为（x，x2﹣当△OCA∽△ADP时，整理得：3x2﹣9解得：x=此时P（

=

x），则有AD=x﹣，即

=

，PD=x2﹣

，

x+3，

x+18=2

x﹣6，即3x2﹣11

或x=

x+24=0，

，即x=

，﹣）；

（舍去）

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当△OCA∽△PDA时，

x2﹣9x+6

=，即

，即x2﹣5或

=，

整理得：解得：x=此时P（4

=6x﹣6x+12=0，

，即x=4

，6）；

（舍去），

当P在直线AD下方时，同理可得：P的坐标为（0，0）或（综上，P的坐标为（

，﹣）或（4

，

，6）（0，0）或（

，﹣，﹣

）， ）；

（3）在Rt△AOC中，OC=3，AC=根据勾股定理得：OA=2∵OC?AC=OA?h， ∴h=， ∵S△AOC=S△AOQ=

，

，

∴△AOQ边OA上的高为，

过O作OM⊥OA，截取OM=，过M作MN∥OA，交y轴于点N，如图所示：

在Rt△OMN中，ON=2OM=9，即N（0，9）， 过M作MH⊥x轴，

在Rt△OMH中，MH=OM=，OH=设直线MN解析式为y=kx+9， 把M坐标代入得：=

OM=，即M（，），

k+9，即k=﹣，即y=﹣x+9，

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联立得：解得：

或

，

，即Q（3

，0）或（﹣2

，15），

，0）或（﹣

则抛物线上存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ，此时点Q的坐标为（32

，15）．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

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