2012-2013重庆邮电大学高数上期末试题(2)

=xsinx-?sinxdx 8分 =xsinx?cosx?C 10分 六．解：令t?x,x?t2,dx?2tdt 3分

112tdt?2?(1?)dt 6分 原式=?1?t1?t00?2[t?ln(t?1)]2022?4?2ln3。 10分

七．解：圆柱体高h与底半径r满足 h2?r2?l2

圆柱体的体积公式为 V??r2h?π(l2?h2)h 3分 求导并令 V??π(l2?3h2)?0 5分 得h?36l，并由此解出r?l． 7分 33d2V3??6h?3??23?l?0 8分 2dhh?lh?l33即当底半径r?63l，高h?l时，圆柱体的体积最大． 10分 33八．解：（1）将方程x?y?ey两边对x求导，1?y/?ey?y/, 3分

dy1 5分 ?ydxe?1（2）将x?1代入方程x?y?ey得y?0 6分 该曲线在x?1处的切线斜率为k?dy11?y? 8分

dxx?1e?1x?1,y?021所求切线方程为y?(x?1) 10分

2解：（1）xdy?2ydx?0可化为

12dy?dx，两边积分lny?2lnx?lnC, 3分 yx得y?Cx2，由条件y(1)?1，得C?1，故所求函数为y?x2 5分

?y?x2?x??1?x?3（2）?，解得?、? 6分

?y?1?y?9?y?2x?33A??(2x?3?x2)dx 8分

?113322?(x?2x?x)=6 10分

3?13解：1）∵f'(x)?2?xx5e?1?0?x?2, x2 ∴ 当0?x?2时,f(x)单调增加；当x?2时,f(x)单调减少；n2?n 2）∵

n2?n) n?f(x)dx?f(?)n,(n2???2n2?n从而,当x?2,f'(x)?0?nf(n2?n)?x)dx?nf(n2), 7n?f(2n2?nlimn2?nn??(n2?n)dx?limn?1 8n?fn2?ne?12n??n2?n limn?1n2n??n2)dx?limn?f(2n??n2e?1 n2?n故由夹逼准则知limn??f(x)dx?1 10n?2注： 2）的前面部分也可如下求解

∵当x?2时,f(x)单调减少，n??,不妨设n?2,

当n2?x?n2?n时，有f(n2?n)?f(x)?f(n2) 6n2?nn2?nn2?n有nf(n2?n)?n2?n)dx?(x)dx?n2)dx?nf(n2) n?f(2n?f2n?f(2

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