高等数学不定积分讲义

第 3、4 次课 4 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：不定积分的概念与性质 教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。 重 点：不定积分的性质和基本积分表 难 点：不定积分的概念 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 不定积分的概念 （25） 2. 不定积分的性质 （30） 3. 基本积分表 （30） 4. 习题 （90） 课后作业 参考资料 不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1 在区间I上，如果可导函数F?x?的导函数为f(x)，即对任一x?I，都有

F'?x??f(x)或dF(x)=?f(x)dx， 那么函数F?x?就称为f(x)(或f?x?dx)在区间I上的原函数.?

（2）原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数

F?x?, 使对任一x ?I 都有F ?(x)?f(x).

注： 1、如果函数f(x)在区间I上有原函数F?x?, 那么f(x)就有无限多个原函数.

F(x)?C都是f(x)的原函数. (其中C是任意常数)?

2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果?(x)和F?x?都是f(x)的原函数,则

?(x)?F?x??C(C为某个常数).

简单地说就是,连续函数一定有原函数.??

定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或?f(x)dx)在区间I上的不定积分. 记作 ?f(x)dx, 其中记号?称为积分号, f(x)称为被积函数,

?f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.?

3、例题讲解.

例1 因为sinx是cosx的原函数,?所以?cosxdx?sinx?C.?

因为x是1的原函数, 所以 ?1dx?x?C.?

2x2x例2. 求函数f(x)?1的不定积分?

x解：当x?0时，(ln x)??1，?1 dx?lnx?C(x?0).??

xx当x?0时，[ln(x)]??1?(?1)?1，?1 dx?ln(?x)?C(x?0).合并上面两式,得到 ?xxx?x dx?ln|x|?C(x?0).??

2例3. 求xdx.

1??x3?x3x3222?C. 解 由于???x，所以是x的一个原函数，因此?xdx?33?3?'4、变式练习

5、积分曲线? 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系?

d[?f(x)dx]?f(x)? 或 d[?f(x)dx]?f(x)dx.

dx'又由于F(x)是F?x?的原函数,所以?F?(x)dx?F(x)?C或记作?dF(x)?F(x)?C.

6、基本积分表（略）.

例4. ?13dx??x?3dx?1x?3?1?C??12?C.?

?3?12xx x例5. ?2xdx??5x2dx7?1122?x?C?x2?C?2x3x?C.

5?177257、不定积分的性质.

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 ?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx.?

这是因为, [?f(x)dx??g(x)dx]??[?f(x)dx]??[?g(x)dx]??f(x)?g(x).

性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即 ?kf(x)dx?k?f(x)dx(k是常数,k?0)? 例6. ?x(x?5)dx??525(x211?5x2)dx.

51 ??x2dx??5x2dx??x2dx?5?x2dx 22 ?x2?5?x2?C.

7373例7. ?(x?1)3x3?3x2?3x?1dx?(x?3?3?1)dx dx???xx2x2x2dx?1x2?3x?3ln|x|?1?C. ??xdx?3?dx?3?1dx??12x2xx8.变式练习

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x（2x?x2）dx )dx (3)?(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx 22x?11?xx13432-+-）dx (8)?(?)dx (9)?xxxdx (7)（?2xx3x4(10)?1x2(1?x2)dx (13)

?cot2xdx

1?x21?x2?e2x?1 (11)ex?1dx

(12)?3xexdx 第 5 次课 2 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：第一类换元积分法 教学要求：1. 掌握第一类换元积分法 重 点：第一类换元积分法 难 点：凑微分 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 第一类换元积分法理论 （25） 2. 练习 （65） 课后作业 参考资料

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