新课程四川高中数学选修2-2课后习题带惊喜(4)

习题1.5 A组（P50） 1、（1）?(x?1)dx??[(1?1i?12100i?11)?1]??0.495； 100100i?11)?1]??0.499； 500500i?11)?1]??0.4995. 10001000 （2）?(x?1)dx??[(1?1i?12500 （3）?(x?1)dx??[(1?1i?121000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.

2、距离的不足近似值为：18?1?12?1?7?1?3?1?0?1?40（m）； 距离的过剩近似值为：27?1?18?1?12?1?7?1?3?1?67（m）. 3、证明：令f(x)?1. 用分点 a?x0?x1??xi?1?xi??xn?b

,n)

将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?i(i?1,2, 作和式

?f(?i)?x??i?1i?1nnb?a?b?a， n 从而

?ba1dx?lim?n??i?1nb?a?b?a， n说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，

?101?x2dx表示由直线x?0，x?1，y?0以及曲线y?1?x210所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此?5、（1）?x3dx???101?x2dx??4.

1. 43由于在区间[?1,0]上x?0，所以定积分

?00?1x3dx表示由直线x?0，x??1，y?0和曲线

y?x3所围成的曲边梯形的面积的相反数.

（2）根据定积分的性质，得?x3dx??x3dx??x3dx???1?10331111??0. 44由于在区间[?1,0]上x?0，在区间[0,1]上x?0，所以定积分曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

333 （3）根据定积分的性质，得?xdx??xdx??xdx???1?1033?1?1x3dx等于位于x轴上方的

202115?4? 44由于在区间[?1,0]上x?0，在区间[0,2]上x?0，所以定积分曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

?2?1x3dx等于位于x轴上方的

说明：在（3）中，由于x3在区间[?1,0]上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

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用定义把区间[?1,2]分成n等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分

?2?1xdx化为?xdx??x3dx，这样，x3?103032在区间[?1,0]和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出

?0?1x3dx，

?20x3dx，进而得到定积分?x3dx的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.

?12在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.

习题1.5 B组（P50）

1、该物体在t?0到t?6（单位：s）之间走过的路程大约为145 m.

说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）v?9.81t. （2）过剩近似值：?9.81??i?188i118?9； ?9.81???88.29（m）

2242 不足近似值：?9.81?i?1i?1118?7??9.81???68.67（m） 2242 （3）

?409.81tdt；

?409.81tdt?78.48（m）.

3、（1）分割

在区间[0,l]上等间隔地插入n?1个分点，将它分成n个小区间：

ll2l(n?2)l[0,]，[,]，??，[,l]， nnnn(i?1)lil,]（i?1,2,n） 记第i个区间为[，其长度为 nnil(i?1)ll?x???.

nnnll2l(n?2)l,l]上质量分别记作： 把细棒在小段[0,]，[,]，??，[nnnn?m1,?m2, 则细棒的质量m???mi.

i?1n,?mn，

（2）近似代替

当n很大，即?x很小时，在小区间[(i?1)lil,]上，可以认为线密度?(x)?x2的值变nn(i?1)lil,]处的函数化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点?i?[nn(i?1)lill,]上质量 ?mi??(?i)?x??i2（i?1,2,n）. 值?(?i)??i2. 于是，细棒在小段[nnn新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答 （第17页共25页）

（3）求和

得细棒的质量 m???mi???(?i)?x???i2i?1i?1i?1nnnl. n（4）取极限

细棒的质量 m?lim??i2n??i?1nll，所以m??x2dx..

0n1．6微积分基本定理

练习（P55）

（1）50； （2）（5）

50425； （3）?； （4）24； 33331?ln2； （6）； （7）0； （8）?2. 22说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A组（P55）

40191、（1）； （2）??3ln2； （3）?ln3?ln2；

3223?217?1； （6）e2?e?2ln2. （4）?； （5）

68说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 2、

3??0?sinxdx?[?cosx]30?2.

它表示位于x轴上方的两个曲边梯形的面积与x轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：

位于x轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.

习题1.6 B组（P55）

?12x1e2111341、（1）原式＝[e]0??； （2）原式＝[sin2x]?； ??22222462x36]1? （3）原式＝[. ln2ln2cosmx?1]????[cosm??cos(?m?)]?0；

??mm?sinmx?1????[sinm??sin(?m?)]?0； （2）?cosmxdx???mm??1?cos2mxxsin2mx?2dx?[?]????； （3）?sinmxdx??????224m??1?cos2mxxsin2mx?2dx?[?]????. （4）?cosmxdx??????224mtggg?kttgg?ktg?kt?0.2ts(t)?(1?e)dt?[t?e]?t?e??49t?245e?245. 3、（1）0222?0kkkkkk2、（1）?sinmxdx?[???0.2t?245?5000. （2）由题意得 49t?245e新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

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这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t的取值范围. 根据指数函数的性质，当t?0时，0?e?0.2t?1，从而 5000?49t?5245， 因此， 因此245e?0.2?500049?750005245. ?t?4949?0.2?524549?3.36?10，245e?1.24?10?7，

所以，1.24?10?7?245e?0.2t?3.36?10?7.

从而，在解方程49t?245e?0.2t?245?5000时，245e?0.2t可以忽略不计.

5245（s）. 49说明：B组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握.

1．7定积分的简单应用 练习（P58）

32（1）； （2）1.

3说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）

因此，.49t?245?5000，解之得 t?1、s??535(2t?3)dt?[t2?3t]3?22（m）.

434?40（J）. 2、W??(3x?4)dx?[x2?4x]002习题1.7 A组（P60）

91、（1）2； （2）.

2bqqqq?k?k2、W??k2dr?[?k]b. aarrab3、令v(t)?0，即40?10t?0. 解得t?4. 即第4s时物体达到最大高度. 最大高度为 h??404(40?10t)dt?[40t?5t2]0?80（m）.

4、设ts后两物体相遇，则

?t0(3t2?1)dt??10tdt?5，

0t 解之得t?5. 即A,B两物体5s后相遇. 此时，物体A离出发地的距离为

?50(3t2?1)dt?[t3?t]50?130（m）.

5、由F?kl，得10?0.01k. 解之得k?1000. 所做的功为 W??0.101000ldl?500l2?0.10?5（J）.

6、（1）令v(t)?5?t?55?0，解之得t?10. 因此，火车经过10s后完全停止. 1?t新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

（第19页共25页）

551)dt?[5t?t2?55ln(1?t)]100?55ln11（m）. 01?t2y习题1.7 B组（P60）

（2）s??(5?t?101、（1）

?a?aa2?x2dx表示圆x2?y2?a2与x轴所围成的上

a半圆的面积，因此? （2）

?aa?xdx?22?a22

O1x?10[1?(x?1)2?x]dx表示圆(x?1)2?y2?1与直线

（第1（2）题）

y?x所围成的图形（如图所示）的面积， 因此，?[1?(x?1)?x]dx?012??1241?1??1?1??. 242Oxhbb3202、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的

b4h方程为y?ax2，则h?a?()2，所以a?2.

2b4h从而抛物线的方程为 y?2x2.

b 于是，抛物线拱的面积S?2?(h?b204h24h2x)dx?2[hx?x]?bh. 22b3b3y（第2题）

?y?x2?23、如图所示.解方程组?

y?3x? 得曲线y?x2?2与曲线y?3x交点的横坐标x1?1，x2?2. 于是，所求的面积为4、证明：W??R?h?10[(x2?2)?3x]dx??[3x?(x2?2)]dx?1.

12RGMmMmR?hMmh. dr?[?G]?GR2rrR(R?h)第一章 复习参考题A组（P65）

1、（1）3； （2）y??4. 2、（1）y??2sinxcosx?2x2?； （2）y?3(x?2)(3x?1)(5x?3)； 2cosxx2x2x?2x2（3）y??2lnxln2?； （4）y??. 4x(2x?1)3、F???2GMm. r34、（1）f?(t)?0. 因为红茶的温度在下降.

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