北京市大兴区农村四校2014-2015学年高二上学期期中联考数学（理(2)

令y??0得x?1或?1 3 -------------11分

x、y、y?的关系如表所示

x (??,?1) y? + ↑ －1 0 极大值1 1(?1,) 3－ ↓ 1 30 极小值?1(,??) 3+

y

5 27↑ 32因此函数y?x?x?x在x??1处有极大值1，在x?15处有极小值?。 327-------------15分 20.（本题满分15分）

解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

h?18?12x?4.5?3x(m)43???0＜x＜?. -------------3分

2??故长方体的体积为

V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)3(0＜x＜). -------------6分

2从而V?(x)?18x?18x2?18x(1?x). -------------8分

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. -------------10分 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 ------13

分

23从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大为3 m3。 ------15

分

21.（本题满分16分）

解：（Ⅰ）f?(x)=1?a …………………1分 xf(1)=?a+1，kl=f?(1)=1?a，所以切线 l 的方程为 …………………3分

y?f(1)=kl(x?1)，即y=(1?a)x． …………………5分

（Ⅱ）f(x)定义域为?0,??? …………………7分

f?(x)=1?ax1?a?x x（1）当a?0时，f??x??1?0，f(x)在?0,???为增函数 …………………9分 x（2）当a?0时， 令

1?axx?0得，x?0或x?1a ①当a?0时，f(x)在?0,???为增函数 ②当a?0时，f(x)在??0,1??a??上是增数，在??1?a,?????是减函数（Ⅲ）令F(x)=f(x)?(1-a)x=lnx?x+1，x>0， 则F?(x)=1x?1=1x(1?x)， 解F?(x)=0得x=1. x (0 , 1) (1 , ??) F?(x) ? 0 ? F(x) ↗ 最大值 ↘ F(1)<0，所以?x>0且x?1，F(x)<0，f(x)<(1?a)x，

即函数y=f(x)(x?1)的图像在直线 l 的下方．

…………………11分 …………………13分 ……………16分

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