第七讲 正弦定理、余弦定理应用举例(2)

CD

tan 60°＝BD，

CDx3∴BD＝tan 60°＝＝3x (m)．

33

在△AEC中，x－20＝3x，

解得x＝10(3＋3) m．故山高CD为10(3＋3) m.

(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；

(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理． 【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.

解 在△BCD中，∠CBD＝π－α－β， 由正弦定理得所以BC＝

BCCD

＝，

sin∠BDCsin∠CBD

CDsin∠BDCs·sin β

＝

sin∠CBDsin?α＋β?

stan θsin β

在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.

sin?α＋β?

考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用

【例3】?如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．

[审题视点] 由于AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD的正弦值．在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠ACB ＝30°，因此可用正弦定理求出sin∠ABC，再依据∠ABC与∠BAD互补确定sin∠BAD即可．

解 在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理，得sin∠ABC＝

ABAC

＝，

sin∠ACBsin∠ABC

AC·sin∠BCA9sin 30°9

＝5＝10.

AB

∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC， 9于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝10. 9

同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝10， ABBD

∠ADB＝45°，由正弦定理：＝，

sin∠BDAsin∠BAD9292

解得BD＝2.故BD的长为2.

要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在

分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．

【训练3】 如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

解 在△ADC中，AD＝10， AC＝14，DC＝6，

AD2＋DC2－AC2由余弦定理得cos∠ADC＝ 2AD·DC

100＋36－1961＝＝－2，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.

2×10×6在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得

ABAD

＝sin B，

sin∠ADB

310×2

AD·sin∠ADB10sin 60°

∴AB＝＝sin 45°＝＝56.

sin B2

2

规范解答9——如何运用解三角形知识解决实际问

【问题研究】 ?1?解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模?准确地画出图形?——求解——检验作答.,?2?三角形应用题常见的类型：,①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；,③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.,【解决方案】 航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中. 【示例】?(本题满分12分)

如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？

(1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中．(3)

利用正、余弦定理求解．

[解答示范] 如图，连接A1B2由已知A2B2＝102，

20

A1A2＝302×60＝102，∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等边三角形，

∴A1B2＝A1A2＝102.由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，(8分) 在△A1B2B1中，由余弦定理得

22B1B2A1B2·cos 45° 2＝A1B1＋A1B2－2A1B1·

2

＝202＋(102)2－2×20×102×2＝200， ∴B1B2＝102.

102

因此，乙船的速度为20×60＝302(海里/时)．(12分)

利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示

意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．

【试一试】 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.

[尝试解答] 如图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝207.

AB21由正弦定理，得sin∠ACB＝BC·sin∠BAC＝7. 27由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝7. 故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)

＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30° 27321121＝7×2－7×2＝14.

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