第 2讲 初一相交线与平行线动点提高题压轴题(3)

7.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD．

（2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．

（2）如图3，写出∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间的数量关系？（不需证明）． （3）如图4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

解:（1）过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD， ∴AB∥EP∥CD，

∴∠B=∠1=50°，∠D=∠2=30°， ∴∠BPD=80°；

（2）∠B=∠BPD+∠D．

理由如下：设BP与CD相交于点O，

∵AB∥CD， ∴∠BOD=∠B，

在△POD中，∠BOD=∠BPD+∠D， ∴∠B=∠BPD+∠D．

（3）如图，连接QP并延长， 结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．

（4）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠E=∠1，∠B+∠F=∠2， ∵∠1+∠2+∠C+∠D=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

8．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

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（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；

（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°． 解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2=180°．

又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE， ∴∠AEF+∠CFE=180°， ∴AB∥CD；

（2）如图2，由（1）知，AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD=180°．

又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P， ∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°， ∴∠EPF=90°，即EG⊥PF． ∵GH⊥EG， ∴PF∥GH；

（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下： 如图3，∵∠1=∠2， ∴∠3=2∠2． 又∵GH⊥EG，

∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2． ∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2． ∵PQ平分∠EPK，

∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．

∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°，

∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．

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11．画图并填空：

如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向下平移2倍，再向右平移3格． （1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）在图中画出△的A′B′C′的高C′D′（标出点D′的位置）；

（3）如果每个小正方形边长为1，则△A′B′C′的面积= ．（答案直接填在题中横线上）

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