第16届全国中学生物理竞赛预赛试卷（1999年）(2)

mc2?G21MmrB?0 （1）

或

rB?2GMc2 （2）

2GMc2这就是说，对于质量为M的引力源，只有其半径rB（叫做黑洞的引力半径）小于

其中10.5 s 时的波形，如果没有固定点应如AB所示，以固定点D对称作出反射波B'C'，再和AC合成，形成了AED（图预解16-7-2）。12.5 s 的波形，如果没有固定点应如AB所示，以固定点对称作出反射波A'B'（图预解16-7-3）．

们将无法通过光学测量看到它，这就是把它叫做黑洞的原因．

时才

会在其表面产生足够强的引力，使得包括光在内的所有物质都不能脱离其引力作用．对光而言，人现在再来根据观测数据确定存在于银河系中心的大黑洞的半径．设位于银河系中心的引力源的质量为M，绕银河系中心旋转的星体的质量为m，该星体做圆周运动时，有下列关系：

mv2r?GmMr22 即 M?rvG2 （3）

r为轨道半径．若该引力源为黑洞，则其质量分布球的半径应满足（2）式，即

rB?2Gvrc2G?2vrc22 （4）

根据观测数据，v?2?103km/s=2?106m/s，r?60?108km=6?1012m，而c?3?108m/s，把这些数据代入（4）式，得

八、参考解答

首先求出一定质量的引力源成为黑洞应满足的条件．按照黑洞的定义，包括以光速运动的光子也不能脱离黑洞的吸引，即不能逃离黑洞的表面．而拉普拉斯经典黑洞模型则把光看做是以光速c运动的某种粒子．我们知道，物体在引力作用下的势能是负的，物体恰能逃离引力作用，表示物体运动到无限远的过程中，其动能恰好全部用于克服引力做功．物体在无限远处时，动能和势能都等于零．这意味着该物体处在引力源表面处时，其动能与势能之和亦等于零．物体不能逃离引力作用，表示该物体尚未到达无限远处，其动能已全部用于克服引力做功，但引力势能仍是负的．这意味着它在引力源表面处时，其动能与势能之和小于零．若某引力源的质量为M，半径为rB，质量为m的粒子在引力源表面的速度等于光速，但它仍不能逃离引力作用，则按牛顿力学的观点应有下列关系：

rB?5.3?108m=5.3?105km （5）

这说明，对质量由（3）式决定的引力源来说，半径小于5.3?105km时才是黑洞，大于这个数值则不是黑洞．所以如果银河系中心存在黑洞的话，该黑洞的半径小于5.3?105km．

九、参考解答

1．用S表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力(?1??2)?LSg和向上的浮力?1LSg。由牛顿第二定律可知，其下落的加速度

21 a1??2??1?1??2g （1）

用t1表示所需的时间，则

34L?12a1t1 （2）

2 第十六届全国中学生物理竞赛预赛试题 第6页

由此解得

t1?3L(?1??2)2(?2??1)g度

（3）

v?a1t1 （9） 由机械能守恒可知

?(?1??2)SL?v2?kz2?kA2 （10）

2?222?式中z?12L为此时木棍中心距坐标原点的距离，由（1）、（3）、（9）式可求得v，再将v和（6）

2．木棍下端开始进入下面液体后，用L'表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为(?1??2)?LSg，但浮力变为?1L?Sg??2(L?L?)Sg．当L?L'时，浮力小于重力；当L'?0211?1?11时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置．用L0?表示在此平衡位置时，木棍在上面液体中的长度，则此时有

(?1??2)?LSg??1L0?Sg??2(L?L0?)Sg （4）

21式中的k代人（10）式得

A?L （11）

由此可知，从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（如图预解16-9）上可知，对应的?为30?，对应的时间为T/12。因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从z?T12由此可得

L0??L2 （5）

即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交界面上，竖直方向为z轴，向上为正，则当木棍中点的坐标z?0时，木棍所受合力为零．当中点坐标为z时，所受合力为

?(?1??2)?LSg???1?L?z?Sg??2?L?z?Sg???(?2??1)Sgz??kz

2??2???2?式中 k?(?2??1)Sg （6） 这时木棍的运动方程为 ?kz?az为沿z方向加速度

1??1??1??L2到z??L2所用的时间为

t2?2??3(?1??2)L2(?2??1)g （12）

3．从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和1

中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与a1一样，其过程和1中情况相反地对称，所用时间

12(?1??2)LSaz t3?t1 （13） 4．总时间为

t?t1?t2?t3?66?62?(?1??2)L(?2??1)g az??2(?2??1)gz(?1??2)L （14）

???z

2

?2?2(?2??1)g(?1??2)L （7）

由此可知为简谐振动，其周期 T?2??2?(?1??2)L2(?2??1)g? （8）

为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅A．木棍下端刚进入下面液体时，其速

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