昌平区2018年高三年级第二次统一练习(3)

19．（共13分）

解：（I）因为f(x)?ax2?ax?xex，

得f?(x)?2ax?a?ex?xex，所以f?(0)?a?1． 因为曲线在点(0,f(0))处的切线方程为y?x，

所以f?(0)?a?1?1，即a?2． --------------------5分

(II) 设h(x)?2ax?a?ex?xex，则h?(x)?2a?2ex?xex?2a?(x?2)ex． 因为x?0，所以x?2?2，e?1. 又因为a?1,所以 h?(x)?0，

故h(x)?a(2x?1)?ex(1?x)在(??,0)上为增函数．

x11?1?0又因h(0)?a?1，h(?)??e2?0，由零点存在性定理，存在唯一的

221x0?(?,0)，有h(x0)?0．

2当x?(??,x0)时，h(x)?f?(x)?0，即f(x)在(??,x0)上为减函数， 当x?(x0,0)时，h(x)?f?(x)?0，即f(x)在(??,x0)上为增函数， 所以x0为函数f(x)的极小值点． --------------------13分

20．(共13分)

解：（I）因为数列：1,4,9,x(x?9)是“倒置系数”为p的“倒置数列”. pppppp,,,p所以也是该数列的项，且???p. x94x94pp故?1,?4， x9即x?p?36. --------------------3分

（II）因为数列{an}是项数为m项的有穷正项等比数列，取p?a1?am?0，

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对数列{an}中的任意一项ai(1?i?m)， pa1amaiam?1?i???am?1?i也是数列{an}中的一项， aiaiai由“倒置数列”的定义可知，数列{an}是“倒置数列”； 又因为数列{an}所有项之积是T， 所以T?(a1a2a32am)(amam?1am?2a1)?(a1am)m?pm即p?Tm. 2 --------------------9分

（III）假设存在这样的等差数列{an}为“倒置数列”，设它的公差为d(d?0)，“倒置系数”为p. 因为数列{an}为递增数列，所以a1?a2?a3?则?an? ppp???a1a2a3?p?an 又因为数列{an}为“倒置数列”，则正整数p也是数列{an}中的一项（i?1,2,ai）， 故数列{an}必为有穷数列，不妨设项数为n项， 则p?ai?an?1?i(1?i?n?1) 则a1an?a2an?1，得a1an?(a1?d)(an?d)， 即(n?2)d2?0由n?3，故d?0，与d?0矛盾. 所以，不存在满足条件的数列{an}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”. --------------------13分

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