优化方案数学必修4（北师大版）第一章§9应用案巩固提升(2)

针方向作匀速圆周运动．

(1)1秒钟后，点P的横坐标为 ．

(2)t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为 ．

解析：(1)1秒钟后，点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为－3.

(2)由题意得，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt， π

则此时点P的横坐标为2cos?πt＋?，

6??所以点P到直线l的距离为 π

3－2cos?πt＋?，t≥0.

6??

π

答案：(1)－3 (2)3－2cos?πt＋?(t≥0)

6??3.

一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：

(1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式； (2)点P的运动周期和频率；

ππ

(3)如果ω＝ rad/s，l＝2，φ＝，试求y的最值；

64(4)在(3)中，试求小球到达x轴的非负半轴所需的时间． 解：(1)y＝lsin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)． 2π1ω

(2)由解析式得，周期T＝，频率f＝＝.

T2πω

ππ

(3)将ω＝ rad/s，l＝2，φ＝代入解析式，

64ππ

得到y＝2sin?t＋?，t∈[0，＋∞)．

4??62π2π

得最小正周期T＝＝＝12.

ωπ

6当t＝12k＋1.5，k∈N时，ymax＝2， 当t＝12k＋7.5，k∈N时，ymin＝－2. (4)设小球经过时间t后到达x轴非负半轴， ππ

令t＋＝2π，得t＝10.5， 64

所以当t∈[0，＋∞)时，t＝12k＋10.5，k∈N，

所以小球到达x轴非负半轴所需要的时间为10.5＋12k，k∈N.

4．(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24 单位：小时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据平均值如下表：

y(米) t(时) 1.0 0 1.4 3 1.0 6 0.6 9 1.0 12 1.4 15 0.9 18 0.4 21 1.0 24 (1)试画出散点图；

(2)观察散点图，从y＝At＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天进行训练的具体时间段． 解：(1)散点图如图．

(2)由散点图可知，选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b函数模型较为合适． 2ππ2

由图可知A＝1.4－1.0＝0.4＝，T＝12，b＝1，ω＝＝，

5T6

ππt2

此时解析式为y＝sin?＋φ?＋1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有

5?66?

×0＋φ＝0，所以φ＝0.

2πt

所求函数的解析式为y＝sin＋1(0≤t≤24)．

562πt4

(3)由y＝sin＋1≥(0≤t≤24)，

565得sin

πt1≥－， 62

ππt7π

则－＋2kπ≤≤＋2kπ，(k∈Z)，

666得－1＋12k≤t≤7＋12k，(k∈Z)． 令k＝0，1，2，

从而得0≤t≤7或11≤t≤19，或23≤t≤24， 所以应在白天11时～19时进行训练．

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