河北科技大学大学物理答案光学(3)

在高空100km处能否分辨开汽车上的两盏车灯？ 解：根据瑞利判据最小分辨角??0?1.22 车灯对镜头所张角度 所以无法分辨。

17-6 汽车的两盏前灯相距1.2m，试问汽车离人多远的地方，眼睛才可能分辩这两盏灯？假设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm，车灯发光波长为??550.0nm.

解：设l为两灯距离，s为人车之间距离，恰可分辨时，两车灯对瞳孔的最小分辨角为 l ??

s?D?1.22?550nm?2.68?10?5

25mml1??1?10?5???0 h100km 由瑞利准则 ???R?1.22 得 s??d?l sld?8.94?103m 1.22?17-7一直径为2mm的氦氖激光束射向月球表面，其波长为632.8nm.月球和地面的距离为

3.84?105km。试求：（1）在月球上得到的光斑的直径有多大？（2）如果这束激光经扩束器扩

展成直径2m的光束，在月球表面得到的光斑的直径将为多大？在激光测距仪中，通常都采用激光扩束器，这是为什么？

解：（1）设在月球上的爱里斑直径为D，激光束直径为d，地球至月球距离为L。由瑞利准则 D?2R?2L?R?1.222L??2.96?105m d （2）若将激光束的直径扩为d'，则月球表面爱里斑的直径为： D'?1.22 可见， D'?2L??296m d'd'D D?d1000 所以，使用激光扩束器可减小光束的发散，使光能集中，方向性更好，从而提高测距精度. 17-8 波长为546nm的平行光垂直照射在缝宽为0.437mm的单缝上，缝后有焦距为40cm的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的线宽度。 解：中央明纹的线宽即为两个暗纹之间的距离

??0??1??2? ??0?2? a2x f2?f2?546?10?9?0.4?3??1.0?10m 利用两者相等，所以：2x??3a0.437?1017-9 缝间距d=0.1mm，缝宽a=0.02mm的双缝，用波长 ??600nm的平行单色光垂直入射，

双缝后放一焦距为f=2.0m的透镜，求：（1）单缝衍射中央亮条纹的宽度内有几条干涉主极大条纹；（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，中央亮条纹的宽度内又有几条干涉主极大？

f?2?600?10?9解： asin???k? 所以中央亮条纹位置为：2x?2??0.12m ?5a2?10 中央明条纹位于：中心位置的上下方各0.06m处。

?9而干涉条纹的条纹间距为：?x?f??2?600??10?0.012m 4d1?10中央明条纹在中心位置的上下方各0.006m的位置上，第K级明条纹的位置为：

x?0.006?k?0.012?0.06 所以对应的k=4，

即在单缝衍射中央亮条纹的宽度内有9条干涉主极大条纹（两边各四条+中央明纹）。

（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，

?9干涉条纹的条纹间距将变为：?x?f??2?600?10?0.024m

10.5?10?4d2中央明条纹在中心位置的上下方各0.012m的位置上，第K级明条纹的位置为：

x?0.012?k?0.024?0.06 所以对应的k=2，

即在单缝衍射中央亮条纹的宽度内有5条干涉主极大条纹（两边各两条+中央明纹）。 17-10 波长为700nm的红光正入射到一单缝上，缝后置一透镜，焦距为0.700m.在透镜焦距处放一屏，若屏上呈现的中央明条纹的宽度为2.00mm,问该缝的宽度是多少？假定用另一种光照射后，测得中央明条纹的宽度为1.50 mm,求该光的波长。

解：中央明纹的宽度为l0,为正负一级暗纹之间的距离.又因级次低，?很小,有 sin??tan??l0/2 f 对第一级暗纹

bsin??? 代入上式

2?f2?700?10?9?0.7??4.9?10?4m =0.49 mm b??3 l02?10 对应另一种光, 中央明纹宽度为l'0?1.5 mm 时

???al'00.4?91.54??5.2?5?1 0mm =525nm 32f2?0.?71017-11 一个平面透射光栅，当用光垂直入射时，能在30度角的衍射方向上得到600nm的第二级主极大，并且第二级主极大能分辨???0.05nm的两条光谱线，但不能得到400nm的第三级主极大，求：（1）此光栅的透光部分的宽度a和不透光部分的宽度b；（2）此光栅的总缝数N。 解：（1）利用： （a?）bsin????k

根据题意：30度角的衍射方向上得到600nm的第二级主极大，所以：

a?b?2?sin??2?600?2400nm 12 不能得到400nm的第三级主极大：说明第三级条纹缺级。 由缺级的定义可得到：

a?b?3 a 所以：a=800nm，b=1600nm。 （2）根据瑞利判据：k?? 2?600?kN?1 （????）N2N?1 （600?0.05）N 所以：N=6000。

17-12 如要用衍射光谱区别氢原子巴尔末系第11条和第12条谱线，光栅的分辨本领应为多大？如光栅常数为每毫米200条的光栅，要想在第2级中能分辨这两条谱线，这光栅的宽度至少多宽？（提示：巴尔末系第11条和第12条谱线由量子数n分别为13和14到n=2的跃迁所产生。） 解：（1）根据瑞利判据：光栅的分辩本领为R?２

?，只要知道它们的波长就可以了。 ?? n从13→2：v? =R［1/22-1/13］=(3/4)R， λ２=676/(165R) ? =R［1/2-1/14］=(5/36)R，λ３=(49)/(12R) n从14→2：v２

２

所以：R??3???300 ???2??3kN?1 （????）N （2） 根据瑞利判据： k?? k=2，所以：2?3722?2N?1?3734 得出： N=151条， N151 如光栅常数为每毫米200条的光栅，那么只要光栅的宽度为：?0.75mm就可以满足要求

200了。

17-13 用每毫米500条栅纹的光栅，观察钠光光谱（??590nm）。问：（1）光线垂直入射；（2）光线以入射角30入射时，最多能看到几级条纹？ 10?3解：（1）正入射时， d??2?10?6m dsin???k?

500。

所以当sin??1，对应的级次（取整数）最大：k? 能看到的条纹为：3，2，1，0，-1，-2，-3。

（sin??sin?）??k? （2）斜入射时，dd??3

所以当sin??sin30??123d3，对应的级次（取整数）最大：k??5 22?d??1 2?

当sin??sin30???，对应的级次（取整数）最小：k??

能看到的条纹为：5，4，3，2，1，0，-1。

17-14 光栅形成的光谱较玻璃棱镜形成的色散光谱有何不同？ 答：两者都是分光元件。不同点：

（1）光栅光谱有一系列的级次，每一级次都有正负两套光谱，零级光谱因波长重合而不能分光；而棱镜光谱只有一套零级光谱，相对强度大。

（2）低级次的光栅光谱波长与衍射角近似有正比关系，称为匀排光谱；而棱镜光谱的波长与 角度为非线性关系，不是匀排光谱。

17-15 用??590nm的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上，问最多能看到第几级明条纹? 解：a?b?o1mm?2.0?10?3mm?2.0?10?4A 500 由(a?b)sin??k?知，最多见到的条纹级数kmax对应的?? 所以有kmaxa?b?2,

2.0?104???3.39，即实际见到的最高级次为kmax?3. ?590017-16 波长为500nm的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上，光栅后的透镜焦距为60cm． 求：(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距；(2)当光线与光栅法线成30°斜入射时，中央明条纹的位移为多少? 解：a?b?1?5.0?10?3 mm5.0?10?6m 200x f (1)由光栅衍射明纹公式

?n??k，因k?1,又sin??tan?? (a?b)si 所以有(a?b)x1?? f10?2500?0?10??6010?2?6.0?10m?6 cm 即 x1???6a?b5.0?10?f (2)对应中央明纹，有k?0

正入射时，(a?b)sin??0，所以sin????0 斜入射时，(a?b)(sin??sin?)?0，即sin??sin??0 因??30?，∴sin??tan?? 故x?x1?? f211f??60?10?2?30?10?2m?30cm 22 这就是中央明条纹的位移值．

17-17 一双缝，两缝间距为0.1mm，每缝宽为0.02mm，用波长为480nm的平行单色光垂直入射双缝，双缝后放一焦距为50cm的透镜．试求：(1)透镜焦平面上单缝衍射中央明条纹的宽度；(2)单缝衍射的中央明条纹包迹内有多少条双缝衍射明条纹? 解：(1)中央明纹宽度为

4800?10?7?50?10l0?2f?2?mm ?2.4cm

a0.02? (2)由缺级条件

asin??k?? (a?b)sin??k?

知

k?k? 即k?5,10,15,???缺级．

a?b0.1?k??5k? k??1,2,??? a0.02 中央明纹的边缘对应k??1，所以单缝衍射的中央明纹包迹内有k?0,?1,?2,?3,?4共9条 双缝衍射明条纹．

17-18 已知入射的X射线束含有从0.95～1.30A范围内的各种波长，晶体的晶格常数为2.75A，当X射线以45°角入射到晶体时，问对哪些波长的X射线能产生强反射? 解：由布喇格公式 2dsin??k? 得??oo2dsin?时满足干涉相长 k? 当k?1时， ??2?2.75?sin45?3.89A

o2?2.75?sin45??1.91A k?2时，??2o3.89?1.30A k?3时，??3oo3.89?0.97A k?4时， ??4oo 故只有?3?1.30A和?4?0.97A的X射线能产生强反射．

光的偏振

18-1 使自然光通过两个偏振化方向相交60o的偏振片，透射光强为I1，今在这两个偏振片之间插入另一偏振片，它的方向与前两个偏振片均成30o角，则透射光强为多少? 解：入射光通过偏振片1和2后，透射光强为 ?2? I1???I0?cos60 2??

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