湖南省蓝山二中2012届高三数学第三次考试试题 理[会员独享](3)

b?0时,m?((2?22)e2,??). ??????????13分

【解析】（1）由题设易知，b1?n(a1?an)a1?an， ?2n2(a?a2???an?1?an)(n?1)a1?a2?an?1?anb2?1??a1?an．

2(n?1)2设表中的第k(1?k?n?1)行的数为c1,c2,?,cn?k?1，显然c1,c2,?,cn?k?1成等差数列，则它的第k?1行的数是c1?c2,c2?c3,?,cn?k?cn?k?1也成等差数列，它们的平均数分别是bk?bk?1?c1?cn?k?1，于是

c1?cn?k?1，2bk?1?2(1?k?n?1,k?N*). bk故数列b1,b2,?,bn是公比为2的等比数列. 分

（2）由（1）知，bk?b1?2k?1? ?????????????7

a1?ank?1?2， 2故当ak?2k?1时，bk?n?2k?1，ak?bk?n(2k?1)?2k?1(1?k?n,k?N*)．

于是?akbk?n?(2k?1)?2k?1． ???????????9分

k?1k?1nn设?(2k?1)?2k?1?S，

k?1n则S?1?20?3?21?5?22???(2n?1)?2n?1

① ②

2S?1?21?3?22???(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n

①?②得，?S?1?20?2(21?22???2n?1)?(2n?1)?2n， 化简得，S?(2n?1)?2n?2n?1?3，

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n故?akbk?n(2n?1)?2n?n?2n?1?3n. ??????????????13分

k?121．（本小题满分13分）已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断，定义：

f1(x)?min{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])，f2(x)?max{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])．其中，

min{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上

的最大值．若存在最小正整数k，使得f2(x)?f1(x)?k(x?a)对任意的x?[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”．

?（1）已知函数f(x)?2sinx,x?[0,]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式，并判断f(x)是否为

2，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由； [0,]上的“k阶收缩函数”

2（2）已知b?0，函数g(x)??x3?3x2是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围.

??【解析】（1）由题意可得，f1(x)?0，f2(x)?2sinx,x?[0,]． ????????2分

2于是f2(x)?f1(x)?2sinx．

???若f(x)是为[0,]上的“k阶收缩函数”，则2sinx?kx在[0,]上恒成立，且?x0?[0,],

222使得2sinx?(k?1)x成立.

??令?(x)?sinx?x,x?[0,]，则??(x)?cosx?1?0，所以?(x)?sinx?x在[0,]单调递减，

22??∴?(x)??(0),x?[0,]，即sinx?x，于是2sinx?2x在[0,]恒成立;

22又?x0??2,2sinx?x成立．

?故存在最小的正整数k?2，使f(x)是为[0,]上的“２阶收缩函数”． ??????6分

2（2）g?(x)??3x2?6x??3x?x?2?,令g'(x)?0得x?0或x?2.令f(x)?0，解得x?0或3. 函数g?x?,g'(x)的变化情况如下：

x

g?(x) g(x)

(??,0) ?

?

(0,2) (2,??) 0 2

? ? 0 0

0 4 ? ? ??????????????????? 8分

ⅰ）b?2时，g(x)在[0,b]上单调递增，因此，g2(x)?g?x???x3?3x2，g1(x)?g?0??0. 因为g(x)??x3?3x2是[0,b]上的2阶收缩函数， 所以，①g2(x)?g1?x??2?x?0?对x?[0,b]恒成立；

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②存在x??0,b?，使得g2(x)?g1?x???x?0?成立.

①即：?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，由?x3?3x2?2x，解得：0?x?1或x?2， 要使?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，需且只需0?b?1. ②即：存在x?[0,b]，使得xx2?3x?1?0成立. 由x?x2?3x?1??0得：x?0或综合①②可得：3?53?53?5，所以，需且只需b?. ?x?222 ????????10分

??3?5?b?1. 2 ?????????11分

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