数学理卷·2016届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等(2)

2015学年浙江省第一次五校联考

数学（理科）答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1 2 3 4 5 6 7 D A D B D A A 8 C

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分36分． 9. 24? ? 11. 13. [ 15. 1?

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 答案：

P：?5?a?1????5分 Q:a??1 ????10分 P,Q一真一假

177?46 10. ， 29184 , 12? 12. 2012 , 1006 , 31,??) 14. 4?22 2cos12 2??5?a??1或a?1 ????14分

17. 解：(1) f(x)?3131?cos2x1sin2x???sin2x?cos2x?1 22222?sin(2x?)?1。?????3分

6?5???2??x?∵?，∴??2x??， 1212363∴??3?3??sin(2x?)?1?0。 ?sin(2x?)?1，从而?1?26263，最大值是0。?????7分 2则f(x)的最小值是?1?（2）f(C)?sin(2C??)?1?0，则sin(2C?)?1， 66??11????∵0?C??，∴??2C??，∴2C??，解得C?.?????10分

366662∵向量m?(1,sinA)与向量n?(2,sinB)共线，∴sinB?2sinA， 由正弦定理得，b?2a ① 由余弦定理得，c?a?b?2abcos222??3，即a2?b2?ab?3 ②

由①②解得a?1,b?2.?????15分

18. （1）证明：∵AD?平面PDC，PD?平面PCD,DC?平面PDC ∴AD?PD,AD?DC

在梯形ABCD中，过点作B作BH?CD于H， 在?BCH中，BH?CH?1,??BCH?45?. 又在?DAB中，AD?AB?1,??ADB?45?.

??BDC?45?，??DBC?90??BC?BD.……3分

?PD?AD,PD?DC,AD?DC?D.

AD?平面ABCD,DC?平面ABCD. ?PD?平面ABCD,?BC?平面ABCD,?PD?BC, ?BD?PD?D,BD?平面PBD,PD?平面PBD. ?BC?平面PBD, ?BC?平面PBC,?平面PBC?平面P BD ………………7分

（2）法一：过点Q作QM∥BC交PB于点M,过点M作MN垂直于BD于点N,连QN. …8分 由（1）可知BC?平面PDB,?QM?平面PDB,?QM?BD,?QM?MN?M

?BD?平面MNQ,? BD?QN，

??QNM是二面角Q?BD?P的平面角，

??QNM?60? …………………10分

?PQ??PC ??PQ?? ?QM‖BC， PCPQQMPM???? ?QM??BC， PCBCPB由（1）知BC=2,?QM?2?，又?PD?1

?MN∥PD ?分

MNBMBMPB?PMPM???1??1?? ……12 ?MN?PDPBPBPBPB?tan?MNQ?QM2? ??3， MN1?????3?6. …………………………………15分

（2）法二：以D为原点,DA,DC,DP所在直线为

x,y,z轴建立空间直角坐标系 (如图)

则P?0,0,1?，C?0,2,0?，A?1,0,0?，B?1,1,0?.

令Q?x0,y0,z0?,则

???????? PQ?（x0，y0,z0?1），PC?（0,2,?1）???????? 1?PQ??PC,?（0，x0y,0?z）1??（0,?2,）（0,2?,1??）. …………………………………………………………………9分 ?Q??是平面PBD的法向量. ………………………10?BC?平面PBD, ?n?（?1,1,0）分

??设平面QBD的法向量为m?. （x，y，z）???????n?DB?0则?????? ，即 ??n?DQ?0?x?y?0 即 ??2?y?(1??)z?0?x??y?2? . ?z?y???1????2??令y?1,得m???1,1,? ………………………………………………………12分

??1???二面角Q?BD?P为60?,

???m?n???∴cosm,n?????mn??2?2??2?2??????1?2?1 解得??3?6, 2 ?Q在棱PC上, 0???????????6为所求. ………………………15分 19. 解答：

(1)若a?0，f(x)的单调增区间为(??,)和(,??)………………………2分 若a?0，f(x)的单调增区间为(??,)和(,??)………………………4分 若a?0，f(x)的单调增区间为R………………………5分

(2) ?a?0,?f(x)在(??,]单调递增，在[,]单调递减，在[,??)单调递增，

a2a4a4a2a2aa24a4aa2a?a2?8a若f()?? ?a即?8?a?0时，令x(a?2x)?a解得：x1?484a?a2?8a????7分 ?不等式的解为：x?4aa2a?a2?8a若f()?? ?a即a??8时，令x(2x?a)?a解得：x1,2?484a?a2?8aa?a2?8aa+a2?8a 据图像：不等式的解为： ?x?或x?444

a?a2?8a综上： ?8?a?0不等式的解为：x?

4a?a2?8aa?a2?8aa+a2?8aa??8不等式的解为：??9分 ?x?或x?444a2aa?（x-）+　　　x???2482(3) f(x)?x2x?a?? 2a2aa2（x-）?　　　x??482?aaa?0?a?12,?f(x)在(??,]单调递增，在[,]单调递减

442aa在[,??)单调递增，?3??5即6?a?10

2221?ax2?a?1在x?[3,5]单调递增， =x?1??g(x)?x?1x?1?g(x)?[9?a25?a,] ………………………11分 24aaf(x)在[3,]单调递减在[,5]单调递增

22a?必须[g(3),g(5)]?[f(),min{f(3),f(5)}]

2即

)?g(3)?f(a2?g(5)?f(3),g(5)?f(5)??

20.解：（1）易知a2n?an??97?a?9………………………15分 13111????=f(n) .......... .2分 n?1n?22n111111?????????f(n+1)-f(n)=

2nn?2n?12n?2n?1n?2111??= 2n?12n?2n?111? =>0 2n?12n?2?f(n)单调递增，………………………………………4分

7即a2n?an?f(2)?，

1277?(log(a?1)x?logax?1)故log(a?1)x?logax。 1212因log(a?1)x?lgxlgx,logax?，

lg(a?1)lga且lg(a?1)?lga?0，故x?1。………………………………………7分 （2）an?an?1?1 n1?(an?)2?an?12

n2a1?an2?an?12?n?2 ………………………………..9分

nnan?12?an?22?.....

2an?11? n?1(n?1)22a31? 3322a1a22?a12?2?2

22a32?a22?

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