习题三龙永红版答案(3)

???a?P???biiji?1j?1i?1j?1??ii?j????j?Pij

??ap??bi?1j?1??p?j

?EX?EY

EXY???aibjpij??aipj??bj?pj?EX?EY

i?1j?1i?1j?1???33. Y 0 P 1 1C19C204020C60

2 2C18C204020C60………….. ………….. 19 19C1C204020C6020 20C0C204020C60C2020 20C60

121920C19C18C1C020C4020C4020C4020C40 EX?0?1??2?????19??20?20202020C60C60C60C60=8

34.因为可以看成是9重见利试验，EX=np=9?1?（）?

935.参考课本P84的证明过程. 36.

X2 ??825??0 1 2 pi1 XX1 1 561 5 563Xpj2 280 Cov(x1, x2)=E X1 X2-Ex1 ×Ex2

5 285 1415 28521 2856535 285610 28153535－? 28562815 = －

224 =

?12e?3x?4y37.f(x,y)???0x?0,y?0

其它?21e?3x?4yg(x,y)???0所以：

x?y?0

其它?3e?3x fX1(x)???0?4e?4y fY1(y)???0x?0 x?0y?0 y?0

?21?3x?(e?e?7x)gX2(x)??4?0?y?0 其它x?0其它

?7e?7y gY2(y)???01因为f(x,y)?fX1?fY(y),所以X,Y独立. 故Cov(x1,y1)?EX1Y1?EX1Y1?0

Cov(x2,y2)?EX2Y2?EX2?EY2

? ???0??x??x0xy?21e?3x?4ydydx????021?3x1(e?e?7x)dx? 471?3x?4yxy?21edydx?1? ?0?07811?? ? 4974938. X1?X?Y,DX1?DX?DY?2cov(X,Y) 所以 cov(X1,Y2)?DX1?DX?DY3?1?11??

222因为 X1,Y1 独立。

所以 Cov(X1,Y1)=0

(也可以计算：Cov(X1,Y1)= Cov(X+Y,X-Y) = Cov(X,X-Y)+Cov(Y,X-Y)

= Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(y,x)-Cov(Y,y) =1?39.

11＋?1=0) 22?1? f(x,y)?????0x2?y2?1其它

fX(x)??1?x21?1?x2?dy?21?x2? fY(y)??1?y21?1?y2?dx?21?y2?

所以： f(x,y)?fx(x)fy1y 所以：X,Y不独立。 ?x,y?40.

cov(x,y)EXY?EX?EY=……… ?DXDYDXDY?XY?cov(X,Y)EXY?EX?EY??DXDYDXDY44225? 66112?2257541.

①?rA,rB?cov(rA,rB)61??

DrADrB16?92 ②rP?xrA?(1?x)?rB

Drp?x2DA?(1?x)2DB?2x(1?x)DA ?16x?9(1?x)?2x(1?x)?4?3? ?13x?6x?9

222DB??AB

1 23232 ?13(x?)?13?2?9

1313当x?39108?时，Drp最小为9?

131313min(DrA,DrB)?min(16,9)?9

当13x?6x?0时，即０?x?42.解

①设投资组合的收益率为rp,则 rp?xrA?(1?x)rB

26时，Drp?min(DrA,DrB) 13Dp?x2DA?(1?x)２DB?2x(1?x)DADB??AB

所

以

：

22Dp?x2DA?2x(1?x)DADB??AB?(1?x)２DB??AB?(1?x)2DB?(1?x)２DB?AB

2 ?(xDA?(1?x)DB?AB)2?(1?x)2DB(1??AB)

当x=1 时，Dp?DA?0

x?1时,?AB?12?AB?1,即1??2?0,由DB?0得DP?(1?x)2DB(1??AB)?0

AB故

所以，对任意x,有DP?0，所以，任意组合P都有风险。 ② 若

?AB＝1,当?AB=1时

DB

Dp?x2DA?(1?x)2DB?2x(1?x)DA ?(xDA?(1?x)DB)2 设投资组合中数为X,则 xDA?(1?x)DB?0

即x?DBDB?DA,1?X??DADB?DA

此时Dp＝0

当?AB??1时，DP?x2DA?(1?x)2DB?2x(1?x)DADB ?xDA?(1?x)DB 选投资组合中权数x,使得

xDA?(1?x)DB?0 x???2DBDA?DB , 1?x?DADA?DB,此时DP?0

③不卖座即0＜x＜1,能在0＜x＜1上得到比证券A和B的风险都小的投资组合，意味着Dp的最小值在0＜x＜1达到。 由

?DP?2?DA?2(1?x)DB?(2?4x)DADB??AB?0 ?x所以 x?DB?DADB?ABDA?DB?2DADB?AB

所以 DA?DB?2DADB?AB?DA?DB?2DADB?2DADB(1??AB)

?(DA?DB)2?2DADB(1??AB)?(DA?DB)2?0

故为使0＜x＜1则

?DB?DADB?AB?0? ?

D?DD??D?D?2DD??ABABABABAB?B解得：

?AB?DBDA且?AB?DADBDADBDBDA

如果DA?DB，则上述等价于?AB?

如果DB?DA，则上述等价于?AB? 综上:

当?AB?min(DA,DB)max(DA,DB)时，可在不卖座的情况下获得比DA和DB都小的风险投资组合。

43. ①Er=0.1×(-3%)+1%×0.105+2%×0.175+3%×0.26+4%×0.125+5%×0.13+6%×

0.065+7%×0.04=2.755% ②P(r=-3%/rf=1.5%)=

P(r??3%,rf?1.5%)p(rf?1.5%)?0.025?0.05 0.50.050.1?0.1 P(r=2%/rf=1.5%)=?0.2 0.50.50.150.075?0.3 P(r=4%/rf=1.5%)=?0.15 P(r=3%/rf=1.5%)=0.50.50.050.025?0.1 P(r=6%/rf=1.5%)=?0.05 P(r=5%/rf=1.5%)=0.50.50.025?0.05 P(r=7%/rf=1.5%)=

0.5 P(r=1%/rf=1.5%)=

所以：E(r/ rf=1.5%)=0.05×(-3%)+0.1×1%

+0.2×2%+0.3×3%+0.15×4%+0.1×5%+0.05×6%+0.05×7%=3% 44. fYX(yx)? EYX?x)?f(x,y)8xy2y ,0＜x≤y≤1 ??22fX(x)4x(1?x)1?x???????yfYX(yx)dy??y?x12ydy 1?x212311?x?x22??yx?? (0＜x＜1) 21?x31?x3?22x2??所以： E?YX?x)???331?x?0?46.看成伯努利试验，X～b(120,

0P(A)?1-[C120(0?x?1

其它1019120)()20201)→X～P(6)泊松分布or X～ N(6,5.7),A=“X≥10” 20119119119129?C120()1()19?C120()2()18????C120()9()11]202020202020 ＝采用泊松分布或正态分布近似计算

＝0.0465（二项分布计算结果）

P(A)=0.022529+0.011264+0.005199+0.002228+0.000891+0.000334+0.000118+0.000039

+0.000012+0.000004+0.000001=0.042619---泊松分布 P(A)=1-F(10)=1-Ф0[(10-6)/σ] σ2=5.7

=1-Ф0[1.675415827737….]=1-0.95352 or 0.95244=0.04648 or 0.04756 显然，本题正态分布比泊松分布更准确。

47.X=开动生产的机床数 X~b(200,0.7) 所以X~N(140,42) 设以９５％以上概率保证正常生产机器为K台，则 P(X≤K)≥0.95??(K)??0(K?140)?0.95 42所以 (K?140)?1.65?K?150.7 所以K=151台 421 X1, X2相互独立， 12所以 各电能≥K×15=2265个电能单位，以９５％保证机器都正常 48.Xi~U??0.5,0.5?,EXi?0,DXi?X??xi~N(0,300?i?13001)?X~N(0,25),X的均值为0，所以密度函数关于原点对称 12(1)P(?xi?1300i?15)?p(x?15)?2(?(??)??(15))?2?2?(15)

=2(1??0(3))?0.0027 （２）X=X1+?+XN～N(0,

n) 12 P(x?10)?p(?10?x?10)?2?(10)?1?2?(10)?1?0.9 n12 ?0(1012所以 n=440.

n)?0.95?1012n?1.65?n?440.77

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