湖南省长沙一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）(4)

∴所求函数解析式为． …6分

（Ⅱ）当0＜x≤12时，由于函数单调递减，所以在x=12m/s时，分

当12＜x≤20时，其中等号当且仅当

即x=24时成立．

（s），

（s）；…8

但24?（12，20]，且当12＜x≤20时，，

所以函数在（12，20]上也单调递减，从而，当x=20时，ymin=254（s） …12分

因290＞254，所以ymin=254（s）．

答：当车队速度为20m/s时，车队通过隧道时间最小，最小时间为254s． …13分． 点评： 本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．

20．（13分）如图，已知抛物线C1：y=2px（p＞0），圆C2与y轴相切，其圆心是抛物线的焦点，点M是抛物线的准线与x轴的交点，点N是圆C2上的任意一点，且线段MN长度的最大值为3，直线l过抛物线C1的焦点，与C1交于A、D两点，与C2交于B、C两点． （Ⅰ）求C1与C2的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l，使得kOA+kOB+kOC+kOD=3（其中O为坐标原点），且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列？若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，请说明理由．

2

考点： 直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；抛物线的标准方程． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析： （Ⅰ）由题意可得，|MN|的长度最大为

，可求得p的值，即可求出C1与C2的

方程；

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l，并设其方程为my=x﹣1，联立方程组求得A、B、C、D的坐标，进而由kOA+kOB+kOC+kOD=3与|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列联立求得m的值，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）当点N为圆C2与x轴的另一交点时，|MN|的长度最大为

，

所以抛物线C1的方程为y=4x；

22

圆C2的方程为（x﹣1）+y=1．

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l，并设其方程为my=x﹣1，A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），C（x4，y4）； 由

?y﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4；（※）

2

2

，所以

相应的，

所以=﹣4m；

由可解得或；

于是，

，kOB+kOC=﹣2m；

因此，由

此时，直线l的方程为

得，∴；

，结合（※）可求得

；

而|BC|=2，所以|AD|=3|BC|．

又|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列?|AB|+|CD|=2|BC|?|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=3|BC|． 故存在直线满足要求，且方程为． 点评： 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．

21．（13分）已知函数f（x）=e（t∈R，e是自然对数的底）．

﹣x

（Ⅰ）若对于任意x∈（0，1），曲线y=f（x）恒在直线y=x上方，求实数t的最大值； （Ⅱ）是否存在实数a，b，c∈，使得f（a）+f（b）＜f（c）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 综合题；导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）对于x∈（0，1），函数y=f（x）的图象恒在直线y=x上方，可得x∈（0，1）

时，，求出右边的最大值，即可求实数t的最大值；

（Ⅱ）假设存在a，b，c∈，使得f（a）+f（b）＜f（c）成立，则问题等价于2f（x）min＜f（x）max． 解答： 解：（Ⅰ）∵对于x∈（0，1），函数y=f（x）的图象恒在直线y=x上方?x∈（0，1）时，设所以

?x∈（0，1）时，，x∈（0，1]，则

．（*）

＞0对x∈（0，1]恒成立，

在（0，1]上单调递增，于是g（x）max=g（1）=e﹣2；

从而，由（*）式得1﹣t≥e﹣2，即t≤3﹣e．

所以，t的最大值为3﹣e． …6分

（Ⅱ）假设存在a，b，c∈，使得f（a）+f（b）＜f（c）成立，则问题等价于2f（x）min＜f（x）max．（**） 由（Ⅰ）知，

．

①当t≥1时，f'（x）≤0，f（x）在上单调递减，所以2f（1）＜f（0）， 即

，得

．由于

，所以

符合题意；

②当t≤0时，f'（x）≥0，f（x）在上单调递增，所以2f（0）＜f（1）， 即

，得t＜3﹣2e．3﹣2e＜0，所以t＜3﹣2e也符合题意；

③当0＜t＜1时，在x∈上，f'（x）＞0，f（x）在（t，1]上单调递增； 故由（**）式知2f（t）＜max{f（0），f（1）}，即

．（***）

设所以

（t∈（0，1）），则

在（0，1）上单调递减，从而有

恒成立，

．

于是，而，，所以（***）式不可能成立．

综上所述，存在，使得命题成立．…13分．

点评： 本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导数是关键．

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