第6章 二次型(2)

1??y1??x1??1?1???????01?2x??y2? ?2?????x??001???y3??3??22222?f?x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3?y1?y2.

1??1?1??所用变换矩阵为C??01?2?(|C|?1?0).

?001???§6.3 正定二次型

定理2（惯性定理） 设有实二次型f个实的可逆变换x?Cy及x?Pz

22使f?k1y12?k2y2???kryr2.及f??1z12??2z2????rzr2.

?XTAX,它的秩为r，有两

则k1,k2,?,kr中的正数的个数与?1,?2,?,?r中的正数的个数相等

定义3 设有实二次型f?XTAX,如果对任何非零向量X, 都有

XTAX?0 （或

XTAX?0）成立，则称

f?XTAX为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）.

二次型的正定性与其矩阵的正定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.

定理3 实二次型f的n个系数全为正

例 二次型f(x1,x2,?,xn)?x12?x22???xn2,是正定的

推论1 实对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正

推论2 实对称矩阵A为正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使PTAP?E

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?XTAX为正定的充分必要条件是它的标准型

定理4 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都为正.

对称矩阵A为负定的充分必要条件是A的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式都为正.

例 判别二次型f(x,y,z)的正定性,

f(x,y,z)??5x2?6y2?4z2?4xy?4xz.

??522?解

题设二次型的矩阵A???2?60???

?20?4???|A1|??5?0,|A2|??522?6?26?0,|A3|?|A|??80?0,

?f(x1,x2,x3)是负定的.

例 当?取何值时, 二次型f(x1,x2,x3)是正定的:

f(x221,x2,x3)?x21?2x1x2?4x1x3?2x2?6x2x3??x3. ?题设二次型的矩阵A??112?解

?123???

?23????|A1|?1?0,|A2|?1112?1?0,|A3|?|A|???5?0,

???5时，f(x1,x2,x3)是正定的.

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