四川省凉山州2016届中考适应性数学试卷含答案解析(5)

（2）解方程组，

解得：或．

则B的坐标是（﹣6，7）．

根据图象可得不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集是：x＜﹣6或x＞1．

【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解二次函数的对称轴的解析式，正确求得B的坐标是关键．

24．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，且∠BAC=52°． （1）求∠OBA的度数； （2）求∠D的度数．

【考点】切线的性质．

【分析】（1）连接OA，由切线的性质可得∠OAC=90°，再由已知条件可求出∠OAB的度数，由圆的性质可得△OAB是等腰三角形，根据等边对等角即可求出∠OBA的度数；

（2）由（1）可知△OAB是等腰三角形，所以∠AOB的度数可求，再由圆周角定理即可求出∠D度数．

【解答】解：（1）连接OA， ∵AC与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90°， ∵∠BAC=52°， ∴∠OAB=38°， ∵OA=OB，

∴∠OBA=∠OAB=38°； （2）∵∠OBA=∠OAB=38°，

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∴∠AOB=180°﹣2×38°=104°， ∴∠D=∠AOB=52°．

【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

六、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）

25．若a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根，则a3﹣3a2﹣2013a+1= ﹣2014 ． 【考点】一元二次方程的解．

【分析】把x=a代入程x2﹣2x﹣2015=0得到a2﹣2a=2015，a2=2015+2a，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．

【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根， ∴a2﹣2a﹣2015=0，

∴a2﹣2a=2015，a2=2015+2a， ∴a3﹣3a2﹣2013a+1， =a（a2﹣2013）﹣3a2+1， =a（2a+2015﹣2013）﹣3a2+1， =2a2+2a﹣3a2+1， =﹣（a2﹣2a）+1， =﹣2015+1， =﹣2014．

故答案是：﹣2014．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．根据题意将所求的代数式变形是解题的难点．

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26．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为 40 元． 【考点】二次函数的应用． 【专题】销售问题．

【分析】根据题意分别表示出每件玩具的利润以及销量，进而结合超市要完成不少于300件的销售任务，进而求出x的值．

【解答】解：设销售单价应定为x元，根据题意可得： 利润=（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）] =（x﹣20）（700﹣10x） =﹣10x2+900x﹣14000 =﹣10（x﹣45）2+6250，

∵超市要完成不少于300件的销售任务， ∴400﹣10（x﹣30）≥300， 解得：x≤40，

即x=40时，销量为300件，此时利润最大为：﹣10（40﹣45）2+6250=6000（元）， 故销售单价应定为40元． 故答案为：40．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意结合二次函数的性质得出商品定价是解题关键．

七、解答题（共2小题，满分20分）

27．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C． （1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．

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【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD，得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；

（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长． 【解答】（1）证明：连接OB，如图所示： ∵E是弦BD的中点， ∴BE=DE，OE⊥BD，

=

，

=

，由圆周角定理

∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°， ∵∠DBC=∠A， ∴∠BOE=∠DBC， ∴∠OBE+∠DBC=90°， ∴∠OBC=90°， 即BC⊥OB， ∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB， ∴OC=

=10，

∵△OBC的面积=OC?BE=OB?BC， ∴BE=

=

=4.8，

∴BD=2BE=9.6， 即弦BD的长为9.6．

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【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．

28．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB=1． （1）求经过点O、A、E三点的抛物线解析式；

（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）首先确定A和E的坐标，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）根据三角形的面积公式即可求得P的纵坐标，进而求得P的坐标；

（3）分成A是直角顶点，F是直角顶点，Q是直角顶点三种情况进行讨论，确定若构成等腰直角三角形时，Q是否在抛物线上即可．

【解答】解：（1）A的坐标是（2，0），E的坐标是（1，2）． 设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c， 根据题意得：

，

解得：．

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则抛物线的解析式是y=﹣2x2+4x；

（2）当△OAP的面积是2时，P的纵坐标是2或﹣2． 当﹣2x2+4x=2时，解得：x=1，则P的坐标是（1，2）； 当﹣2x2+4x=﹣2时，解得：x=1±此时P的坐标是（1+

，

，﹣2）；

，﹣2）或（1﹣

（3）AF=AB+BF=2+1=3．

OA=2，则A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上； 当F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；

当Q是直角顶点时，Q到AF的距离是AF=，若Q存在，则Q的坐标是（2﹣，），即（﹣，），不在抛物线上，总之Q不存在．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正确对等腰直角三角形进行讨论是本题的关键．

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