幂等变换和幂等矩阵的性质(2)

??(???)(?)?(???2)(?)?(???)?(?) ??(???)(?)?Im(?)?Im(???)=?0?

从而?(???)(?)?0

由?的任意性，?(???)????2?0 即?2??

（四）幂等矩阵的一些性质

性质1.设A是n级幂等矩阵，则对?a(a?0,1),A?aE是可逆矩阵 证明：由A?A

2?(A?aE)[A?(a?1)E]

?A2?A?a(a?1)E

??a(a?1)E

?当a?0且a??1时，(A?aE){1[A?(a?1)E]}?E

?a(a?1)1[A?(a?1)E]

?a(a?1)因此A?aE可逆，且其逆矩阵为

性质2.设A为幂等矩阵，则A可以对角化

22证明：由A?A?0知g(?)????是A的化零多项式

又A的特征值只能是1和0

?A的最小多项式为g(x)?x或x?1或x2?x

且这三种情形下g(?)均无重根

故A可对角化

性质3.设A是幂等矩阵，则A的秩等于A的迹

证明：因为A的特征值只能是1和0，设A的秩为r，则

A与??Ir?00??相似 0?设?1,?2?,?n为A的全部特征值，则trA??1??2????n

?I?相似矩阵有相同的特征值，而?r?0?trA??1??2????n?r

即A的秩等于A的迹

0??的全部特征值为r个1 0?性质4.设A是秩为r的幂等矩阵则A?CB，其中BC?Er,C是秩为r的n?r矩阵 证明: A与??Ir?00??相似，即存在可逆矩阵P使得 0??IP?1AP??r?00??Ir?A?P??0??0?10??1?Ir??1 P?PI0P????r?0??0?I?Ir??Ir??1?r?令B??Ir0?P,C?P??,则秩（C）=r且BC??Ir0?PP????Ir0????Er

?0??0??0?

性质5.可逆幂等矩阵为单位矩阵 证明：A为幂等矩阵，A2?A,即AA?A 又A可逆，两边同时左（右）乘A,得

?1A?A?1A?E 即A为单位矩阵

由于幂等矩阵的性质是限制在n维条件下讨论的，所以对应幂等变换的性质也只是在有限维情况下成立，至于这些性质能否推广到无限维的情形，本文未予讨论。

参考文献：

[1]陈尔明.幂等变换的一个性质的推广[J]. 牡丹江师范学院学报(自然科学版),2003.3

[2]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.9.

[3]李师正.高等代数解题方法与技巧[M].张玉芬，李桂荣，高玉玲.北京:高等教育出版社,2004.2.

[4]张树青 ,王晓静.线性空间的幂等变换与对合变换的几个等价表示[J].烟台师范学院学报(自然科学

版) ,2004 .20(1).

[5]钟太勇,袁力,彭先萌.幂等矩阵与幂等变换性质的探讨[J]. 郧阳师范高等专科学校学报,2005年6月第25卷第3期.

[6]宿维军. 幂等矩阵和幂等变换[J].重庆文理学院学报，2008.4

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库幂等变换和幂等矩阵的性质(2)在线全文阅读。