2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测--理科(2)

10.B【解析】先化简：

(sin2a3?sin2a3sin2a6)?(cos2a3?cos2a3cos2a6)=?1sin(a4?a5)(sina3cosa6)2?(cosa3sina6)2=?1sin(a4?a5)

sin(a3?a6)sin(a3?a6)=?1sin(a4?a5)?sin(a3?a6)?1????d??a3?a6??3d?6 又当且仅当n?9时，数列?an?的前n项和Sn取得最大值，即：

?a9?a1?8d?04?3?a9?0,a10?0????a1?32 ?a10?a1?9d?02?3?11. ?80【解析】第四项T4?C5??????80x?3，系数为?80

?x?12.10【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况。 【1】没0：2必填个位，A2种填法；

【2】有0：0填个位，A3种填法；0填十位，2必填个位，A2种填法； 所以，偶数的个数一共有A2+A3+A2=10种填法。

13. 211【解析】将1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,?分组成?1?,?2,2?,?3,3,3?,?4,4,4,4?,?5,??,?。 第组有个数，第2组有2个数，以此类推... 显然an?1?20在第20组，an?21在第21组。 易知，前20组共

2212132(1?20)?20?210个数. 22xy??1， 33 所以，n?211。

14. 3【解析】由题意：2x?y?3?0?

x?2y21?21??2xy?2?yx?525?????????????????2??3 xyxy?xy??33?3?xy?333·6·

15. 27【解析】由题意：设弦长为 圆心到直线的距离d?a?0?b?0?ca?b22?c12c2?2

16. 10【解析】由题意，绘出可行性区域如下：

设z?2x?y，即求y??2x?z的截距的最大值。

77? 因为x,y?Z，不妨找出?。 ?,?附近的“整点”22?? 有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时，z?10最大.

17．?1,3?【解析】方法（一）：特殊点代入法。

C与A重合时，x?1,y?0，此时x?3y?1； C与B重合时，x?0,y?1，此时x?3y?3.

注意到，C从B点运动至A点时，x逐渐变大，y逐渐变小。 显然，一开始x趋于0，而y趋于， 故x?3y的范围受y的影响较大。 故猜想，x?3y?[1,3]

方法（二）：设扇形的半径为r

??

???? 考虑到C为弧AB上的一个动点，OC?xOA?yOB. 显然x,y?[0,1]

??????????????222 两边平方：?OC??r??xOA?yOB??x?r?2xyOA?OB?y2?r2

???? 消r2：y2?x?y?x2?1?0，显然??4?3x2?0

22?x?4?3x2 得：y?(y?0)，

2134?3x2 故x?3y??x?. 22134?3x2 不妨令f(x)??x?(x?[0,1])

2219x f'(x)????0，

2224?3x 所以f(x)在x?[0,1]上单调递减,f(0)?3,f(1)?1，得f(x)?[1,3]。

18.【解析】（I）f(x)?23cos(2x??6)?3

2???. 2故f(x)的最大值为23?3，最小正周期为T?(II)由f(A)?3?23得23cos(2A?x6)?3?3?23，

·7·

故cos(2A?又由0?A?再由B?n)??1， 6?2，解得A?5?。 12?12?C??2，

?a???A?sin(?)??s?c466?2. 4C1?CrLxy1x??2319.【解析】(I)由题意知P?， ??()?Cx1.6060220当且仅当x?y时等号成立， 所以，当P取得最大值时x?y?3.

(II)当x?2时，即甲箱中有2个红球与4个白球， 所以?的所有可能取值为0,1,2,3

21C4C1?则P(??0)?21， 1C6C4511121C2C4C2?C4C27P(??1)??， 2C1C6154

21111C2C2?C2C4C23p(??2)??, 110C62C41C21P(??3)?21?，

C6C430所以红球个数?的分布列为

于是E??7. 620.【解析】（I）证明

·8·

bn?1?bn?22an?1?1?22an?1?2?12?1??4an?????1??22an?1?4an2??2，

2an?12an?1所以数列?bn?是等差数列，a1?1,b1?2，因此 bn?2?(n?1)?2?2n， 由bn?22an?1得an?n?1. 2n(II)cn?4]?2?1,cncn?2??2???,

n?n?2?n?nn?2???111?????3， 2n?1n?2?所以Tn?2?1?依题意要使Tn?1m(m?1)*对于n?N恒成立，只需?3,

cmcm?14解得m?3或m??4，所以m的最小值为3.

c1?，c?1， a2x2y2所以a?2，所求椭圆方程为??1.

4321.【解析】 (I)由题意得e?x2y2(II)设A?x1,y1?,B?x2,y2?，把直线l2:y?kx?m代入椭圆方程??1得到

43(4k2?3)x2?8kmx?4m2?12?0，

4m2?12?8km因此x?x?，x1x2?，

4k2?34k2?32122?4km3m,)， 224k?34k?3?4km3m又M在直线l1上，得3??4??0，

4k2?34k2?3m??0.?k?1，

所以AB中点M(4m2?12?8m故x1?x2?，x1x2?，

77所以|AB|?1?k|x1?x2|?2467?m2， 7·9·

原点O到AB的距离为d?|m|2，

2323m2?(7?m2)22m(7?m)???3， 得到S?772当且仅当m2?7取到等号，检验??0成立. 2'12x2?3x?1(x?1)(2x?1)22.【解析】(I)当a?1时，f?x??2x?3??， ?xxx当0?x?当

1'时，f?x??0， 21?x?1时f'?x??0， 2'当x?1时f?x??0.

所以当x?1时，f?x?取到极小值?2。 (II)f(x)?2x??1(x?0)， x1m2?m?lnm?所以切线的斜率k?2m?1? mm整理得m?lnm?1?0, 显然m?1是这个方程的解，

又因为y?x?lnx?1在(0,??)上是增函数， 所以方程x?lnx?1?0有唯一实数解，故m?1.

(III)当a?8时，函数y?f(x)在其图象上一点P?x0,f?x0??处的切线方程为

222h?x??(2x0?82?10)(x?x0)?x0?10xo?8lnx0， k'''设F(x)?f(x)?h(x)，则F(x0)?0，F(x)?f(x)?h(x)

?(2x??8824???10)?(2x0??10)?(x?x0).?x??? xx0xx0??若0?x0?2，F(x)在??x0,??4x0???上单调递减， ?·10·

所以当x???x0,??4x0?F(x)?F(x)?F(x)?0时，此时?0； 0?x?x0?若x0?2时，F(x)在??所以当x???此时

?4?,x0?上单调递减， ??x0??4?,x0??时，F(x)?F?x0??0， x?0?F(x)?0，

x?x0所以y?f(x)在(2,??)上不存在“转点”.

2(x?2)2，即F(x)在(0,??)上是增函数， x当x?x0时，F(x)?F(x0)?0，

r若x0?2时F(x)?当x?x0时，F(x)?F(x0)?0， 即点P?x0,f?x0??为“转点”，

故函数y?f(x)存在“转点”，且2是“转点”的横坐标.

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