曲线积分与曲面积分(2)

1．求均匀的锥面（设面密度为1）z?转动惯量。

hax2?y2(0?z?h,a?0)对ox轴的

???? 2．求矢量场A?yzi?xzj?xyk穿过圆柱体x2?y2?a2,0?z?h的全表面的

流量和侧表面的流量。

3．求均匀弧x=a(t-sint) ,y=a(1-cost) (0?t?2?)的重心坐标。

4．设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置(x1,y1,z1)沿直线移动到 (x2,y2,z2)时重力所作的功。

5．设曲线L的极坐标方程为r?sin3?(0???于该点处矢径的长度，求L 的质量。

6*．求半径为R的均匀半圆周L（线密度为δ=1）对于位于圆心的单位质量的质点的引力。

7*．试用曲线积分求平面曲线L1 ：y?转所成旋转曲面的面积。 七、 模拟

1．试解下列各题：

（1）设Ω是由光滑闭曲面Σ所围成的空间闭区域，其体积记为V，则沿Σ外

侧的积分

?3)，其上任一点处的线密度等

134x?2x,0?x?1绕直线L2 ：y?x旋33??(z?y)dxdy?(y?x)dxdz?(x?z)dzdy= 。

?

（2）L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L关于ox

轴的转动惯量可用曲线积分表示为 。（其中ρ(x,y )为连续函数）

（3）L是从A(1,6)沿xy=6至点B(3,2)的曲线段，则

?Lex?y(ydx?xdy)? 。

???（4）力F?(x2?y2)m(yi?xj)构成力场（y>0），若已知质点在此力场(y>0)

内运动时场力所做的功与路径无关，则m= 。

2．试解下列各题：

（1） 设L是圆周x2?y2?a2(a?0)负向一周，则曲线积分

?A) ?L(x3?x2y)dx?(xy2?y3)dy?（ ）

?2a4 B) ??a4 C) ?a4 D)

2?3a 32（2）设L是|y|?1?x(?1?x?1)表示的围线的正向，则

?2xdx?ydy2x2L?y2之值等

于（ ）

A) 0 B)2π C) - 2π D)4ln2 （3）设L是从A(1,0) 到 B(-1,2)的线段，则曲线积分 A)

?L(x?y)ds= （ ）

2 B) 22 C)2 D)0

22（4）L是圆域D：x?y??2x的正向周界，则于（ ）

?L(x3?y)dx?(x?y3)dy等

A) - 2π B) 0 C)

3? D) 2π 2 3．已知曲线L的极坐标方程为r=θ (0????(?)?11??2?2)，L上任一点处的线密度为

，试求该曲线段关于极轴的转动惯量。

4．验证：存在u(x,y)使 (2xey?y)dx?(x2ey?x?2y)dy?du(x,y)，并求u(x,y) .

3 5．设AB是连接点A(0,2)及点B(,0)的直线段，计算曲线积分

2?AB(x4?y4)ds.

6．设Σ为球面x2?y2?z2?1的外侧，计算

???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.

7． 计算

??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中Σ是上半球面z??a2?x2?y2的上

侧。

8． 设P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z) 均为连续函数，Σ是一光滑曲面，面积记为S，

M是P2?Q2?R2在Σ上的最大值，试证明：

|

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy|?M?S

?

答 案

二 .选择

1.D 2.D 3 .D 4.A 5.C 三 .填空

1. 0 2

3 3. 2?????Pdxdydz 4. 0 5. I1?I2 ?x

6.

??ydx?xdyx2L?y2

四 .计算 1.

2?ma27arctan 4. ?2?1 2. 3.

823?R3 5.

6x2y6. (1) Ix??Ly2?(x,y)ds,Iy?x?(x,y)ds?LLLx2?(x,y)ds

?(2) x???2LL?,y??(x,y)ds??4y?(x,y)ds?(x,y)ds

7.(1) 2?a2n?1 (2) ea(2? 8.(1) ?a)?2 (3) 9

a3 (2) ?2? (3) 13

9. ?a2 10. 236 11. 0 12. ?cos2xsin3y 13.(1) ? 16.

2764 (2) 4152a4 14.

2?31(63?1) 15.(1) ? (2) 1528125?a 5五 .证明

1提示：令F(x,y)?2六 .应用 1. Ix??x2?y20f(t)dt，则dF?f(x2?y2)(xdx?ydy)

?a4(2h2?a2)a2?h2 2. ??0 3. x??a,y?2a 34. mg(z2?z1) 5. 1?162ln(3?8) 6. F?2Kj 7. R5(22?1)3?

七 .模拟

1.(1) 3V (2)

?Ly2?(x,y)ds (3) 0 (4) -1

2.(1) A (2) A (3) B (4) D 3.

?3?? 4. u(x,y)?x2ey?xy?y2?C 5.

337 4886.

125? 327. 2?a3

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