随机重点题目

一、基本概念及简单计算

1、二维联合正态分布随机变量X、Y的联合概率密度分布函数fXY(x,y)与随机变量X、Y的均值、方差及相关系数之间的关系；反过来，

1x2xyy2exp{?(??)}，如何求得A以及随机变量X、Y的均值、方差及相关函数。 若已知fXY(x,y)的表达式

2?Aabc2、窄带随机过程X(t)?A(t)cos、同相及正交分量Ac(t)、As(t)的表达，复包络的相关函数为[?0t??(t)]的复包络A（t）~~~?22~(?)?E[A(t)A(t??)]，RX(?)、Rc(?)、Rs(?)与R~(?)之间的关系；若已知E[X(t)]??，幅度过程A（t）与相位过程?(t)RAA的概率密度函数的表达式。

3、第七章PPT中关于泊松分布的例子，推广到自上次发车后若乘客数达到n则立刻发下一趟车，否则要等到T1分钟才发车，平均每分钟到达的乘客数为?的情况。

4、连续马尔可夫过程X(t)的转移概率fX(xn,tn|xs,ts)与fX(xn,tn|xr,tr)、fX(xr,tr|xs,ts)之间的关系（ts?tr?tn）；马尔可夫链的转移概率pik(s,r)、pkj(r,n)与pij(s,n)之间的关系。

xR(t)及虚部~xI(t)与x(t)之间的关系。 5、实信号x(t)的复信号表示~x(t)的频谱X(?)与x(t)的频谱X(?)之间的关系，~x(t)的实部~6、若各态经历非周期随机过程X(t)的均值为正，则任意样本函数x(t)的时间均值lim~1T??2T?T?Tx(t)dt与相关函数RX(?)之间的关系。

7、对平稳离散时间白色噪声序列X（1），X（2），…，X（n）按从小到大的顺序排序，得到新的非平稳有色噪声序列Y（1），Y（2），…，Y（n），随机变量Y（1）、Y（2）的一维概率分布函数为FY(y,1)、FY(y,2)与序列X的一维概率分布函数为FX(x)之间的关系。

?(t)的二维联合概率密度分布函数。 8、零均值、方差为?的平稳正态随机过程X（t）的Hilbert变换为X2

9、对于均值为mX、相关函数为RX(?)的各态经历随机过程的任意样本函数x(t)的集合统计lim1T??2T?T?Tx(t)dt与

1T??2Tlim?T?Tx(t??)x(t)dt与mX、RX(?)之间的关系。

10、对于不隐含周期性的平稳随机过程，其直流功率、总功率与交流功率与相关函数RX(?)之间的关系。 二、判断题

1、判断某个函数是否为平稳实随机过程相关函数

实函数、偶函数、在?=0处的绝对值最大、在??0处的值非负、对于非周期函数，在???处的极限值为非负的常数。

2、关于正态随机过程

a、对于平稳正态随机过程，均值函数及相关函数可以确定其全部统计特性； b、广义平稳的与严格平稳等价；

c、该过程在某两个时刻互不相关与在该两个时刻相互独立等价；

d、若该过程是窄带的，则该过程及其同相分量、正交分量三者具有相同的一维概率密度分布函数，且正交分量与同相分量相互独立； e、不管白色噪声服从何种分布，通过有限带宽线性系统后，输出过程为正态随机过程。 3、关于马尔可夫链

a、设P为齐次马尔可夫链的单步状态转移矩阵，p为状态概率矢量，若Pp?p存在唯一解且其元素值满足0?pi?1，则当初始状态

T???列阵为p时，该链为平稳链；而当初始列阵不为p时，该链不一定渐近平稳。

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??

b、马尔可夫链的齐次与平稳的区别，齐次链可能是非平稳的，其任意时刻的概率密度分布函数可能随时间变化而变化。

c、马尔可夫链的状态转移矩阵的所有元素值非负，且任意行内的所有元素值之和为1，但任意列内的所有元素值之和不一定为1.

d、对于齐次马尔可夫链，状态转移矩阵需要与初始状态列阵一起才能全部刻画其统计特性。

e、齐次马尔可夫链任意两个不同时刻的转移概率只与时刻差有关；任意两个不同时刻的联合分布律不仅与时刻差有关，还与起点时刻的状态概率有关。

f、如果齐次马尔可夫链可以从任意一个状态转移到任意状态，不一定遍历或渐进平稳在不可约的情况下没有周期性，才一定遍历或渐近平稳。

g、对于有限状态的马尔可夫链，至少有一个状态为常返态。

4、关于多维联合正态分布

a、如果两个随机变量服从正态分布，则它们不一定服从联合正态分布。

b、如果两个随机变量的联合概率密度分布是二维联合正态分布，则它们分别服从正态分布。 c、如果两个随机变量的联合分布不是联合正态分布，则这两个变量也有可能服从正态分布。 d、如果两个随机变量X、Y服从联合正态分布，则条件分布fX|Y(x|y)为正态分布。 e、零均值随机变量X、Y服从联合正态分布，则条件

??-?xfX|Y(x|y)dx不一定为0值。

f、随机变量X、Y服从联合正态分布，则Var[X|Y]?Var[X]。 5、关于平稳随机过程，下列说法正确的有

a、确定信号为特殊的随机信号，称其为平稳的，意味着该信号为常量。

b、若平稳随机过程的功率谱密度函数在??0处含有冲激，则该随机过程或者隐含周期性，或者均值函数中带有常数分量。 c、平稳随机过程不一定是各态经历的，但各态经历过程一定是平稳的。 d、平稳随机过程经过线性变换后不一定是平稳的。

e、如果该过程的任意样本函数是连续的，则该过程依均方意义连续，但反过来，依均方意义连续的随机过程的样本函数不一定是普通连续的。

f、若该过程的协方差函数KX(?)不满足KX(?)?0，则该过程必定隐含周期性。 三、通信系统中FSK信号的解调问题可以等效为如下的假设检验问题：

H0:x(t)?Acos(?1t)?v(t) (0?t?Tb)

H1:x(t)?Acos(?2t)?v(t) (0?t?Tb)

信号波形的设计满足：

Tb?Tb0cos(?1t)cos(?2t)dt?0、?cos(2?1t)dt??cos(2?2t)dt?0；最优检验统计量为

00TbTbS??x(t)cos(?1t)dt??x(t)cos(?2t)dt，如何求误码率。

00Tb 2 / 3

复习第4次小班讨论题。

四、设某平稳正态窄带随机过程X(t)?A(t)cos[?0t??(t)]的功率谱密度函数为

?S0?0???/2?|?|??0???/2 GX(?)??otherwise?01、幅度（包络）过程A(t)的一维概率密度分布函数fA(a,t)；

2、X(t)与其一阶导数过程X'(t)在同一时刻的二维联合概率密度分布函数fXX'(x,x';t,t)； 3、X(t)在任意小的时间间隔内穿越x轴的概率； （t,t??t）4、X(t)在T时间内向上穿越x轴的平均次数；

5、一阶导数过程X'(t)及二阶导数过程X''(t)在同一时刻的联合概率密度分布函数fX'X''(x',x'';t,t)； 6、X(t)在任意小的时间间隔取得极大值的概率； （t,t??t）7、T时间内取得极大值的平均次数。 复习第2次小班讨论题。

五、复习第3次小班讨论题，思考已知相关函数的具体形式并将累积函数转化为累积平均函数后会是什么情况。

六、复习第7章7.2节的PPT结合第3章PPT的离散时间随机过程通过线性系统。思考：假设输入从-?开始，输出过程为平稳正态随机过程。如何根据差分方程求输出随机过程X(n)的方差KX(0)或?X；如何根据差分方程求输出随机过程X(n)的

2KX(1)或RX(1)、KX(2)或RX(2)；如何根据KX(0)、KX(1)、KX(2)求X(n)、X(n?1)、X(n?2)的联合概率密度分布fX(xn,xn?1,xn?2)，运用马尔可夫过程的无后效性同样可以求得fX(xn,xn?1,xn?2)；验证两种方法的等效性。

七、设某人的业余活动形式仅仅取决于当日的天气，天气/行为转换矩阵为P[第i行第j列为在第i种天气情况下从事第j中活动的概率

pij(i?1,2,???,I;j?1,2,???J)]；假设天气过程X(n)为齐次马尔可夫链，转移概率矩阵为Q[第n天的天气为第i种的情况下第n+1天的

天气为第k种的概率为qik(i?1,2,???,I;k?1,2,???,I)]。如已知明天出现各种天气的概率为Ri(i?1,2,???,I)，，某人明、后、大后三天的业余活动形式为Y(1)、Y(2)、Y(3)，如何计算概率P?Y(3)?j3,Y(2)?j2,Y(1)?j1?；

设Um(n)表示维数为m、第n个元素值为1且其余元素值为0的列矢量，试用UJ(n)、UI(l)以及P、Q、s表示今天（s=0）天气为第

l种情况下第s（s>0）天的天气状态概率列阵的表达式、第s天某人的行为概率列阵的表达式、第s天某人从事第n种活动的概率。

复习：将第七章PPT的马尔可夫链举例5扩展到多种业余活动及多种天气情况。

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