魏宗舒版《概率论与数理统计教程二》课后习题解答（广东数学自考

第一章1.1 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}

A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红

球分别为r1，r2，r3，r4。则?(ⅰ) A?{

?{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述

ABC的意义。(2)在什么条件下ABC?C成立？(3)什么时候关系式C?B是正确的？

(2) (4) 什么时候

A?B成立？

解 (1)事件

ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都

有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了

。用Ai表示下列事件： n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）

(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品； (2)(4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1)

?A; (2) ?A??A; (3) ?[A(?A)];

iiinnnnniji?1i?1i?1i?1j?1j?i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为

i,j?1i?j?AAinj；

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为

A82?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为

7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12

中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件于是

11?A5?2?3?6个样本点。A“所得分数为既约分数”包含A32?2A3P(A)?2?3?69?。

8?7141.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。

?5?解 样本点总数为???10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、

?3???9。所以事件

A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是P(A)?3。 101

1.7 一个小孩用13个字母

如果字母的各种排列是随机的A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。

（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为13!，事件

A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。所以

P(A)?3!2!2!2!48 ?13!13!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9?10。故所求概率为 9?8?17个位置之一时正好相互“吃掉”

17P(A)?

891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9。事件

7?1?89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的

A“没有两位及两

A97P(A)?79。

位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含

A7于是9个样本点，

1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94?9????解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)?10000?10?94?9??1???P(A)?1-P(A)?1?10000?10?(3)该数的立方的最后两位数字都是1； 解 (1) 答案为

44

1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：

(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；

142。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为? 51052(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含10个样本点。用事件数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为1和3

“该A表示

a，则该数的立方的最后两位数字为

a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是

。

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放

开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为(5?3?1)。用

2A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它

的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故

2

尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是P(A)?(5?3?1)(4?2)8?(2) 2n根215(5?3?1)草的情形和(1)类似得

n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进

入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球的概率为

1.13 把

?N?n?k?2????n?k???，0?k?N?n?1?????n??个盒中正好有

?N??n?1?????????n(2)恰好有m个盒的概率为??m??N?m?1?，N?N?n?1?????n???n?m?N?1(3)指定的m?m?j?1??N?m?n?j?1????????，

m?1n?jj个球的概率为?????1?m??N?n?1?????n??N,0?j?N.解 略。

1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解 所求概率为P(A)?3 5n?11的概率为nn2。

1.15 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于解 截取CD??1n?1，因CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面积之比大于

nn221?CD2?A?B?C有面积CD?1n?此所求概率为P(A)???22?ABC的面积n2CDCD。

1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

解 分别用

x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当

11242??232??222220?x?y?2,0?y?x?1。因此所求概率为P(A)??0.121

2241.17 在线段

AB上任取三点x1,x2,x3，求：

(1)

x2位于x1与x3之间的概率。

Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。

(2)

111?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用

A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然

3

P(A1)?P(A2)?0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则

P(A3)?P(Aab?Aac?Abc).显然

P(Aa)P(Aab)?P(Aac)，

P(Ab)?P(Aab)?P(Abc)，P(Ac)?P(Aac)?P(Abc)。所以

P(A3)?211[P(Aa)?P(Ab)?P(Ac)]?(a?b?c)?(a?b?c)

2?d?d2（用例1.12的结果）

1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。 解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件率等于零，但

A“该点命中AB的中点”的概

A不是不可能事件。

1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两

b个???解?1表示白，?2表示黑白，?3表示黑黑白，??b?1表示黑?黑白，

a则样本空间??{?1，?2，?，?b?1}，并且P({?1})?，

a?bbabb?1a， P({?3})?，?， P({?2})????a?ba?b?1a?ba?b?1a?b?2人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

P({?i})?bb?1b?(i?2)a ?????a?ba?b?1a?b?(i?2)a?b?(i?1)b!a(a?b)(a?b?1)?a

P({?b?1})?甲取胜的概率为P({1})+P({乙取胜的概率为P({??3})+P({?5})+?

?2})+P({?4})+P({?6})+?

1.21 设事件

A,B及A?B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB)

?P(A)?P(B)?P(AB)得

解 由P(A?B)P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r

P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?r?q ，P(AB)?r?p P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r

1.22 设

A1、A2为两个随机事件，证明：

?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2);

4

(1) P(A1A2)

(2) 1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2).

?P(A1?A2)?1?P(A1?A2)=1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)

证明 (1) P(A1A2)(2) 由(1)和P(A1A2)1.23 对于任意的随机事件

?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。

A、B、C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A)

证明 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

?P(AB)?P(AC)?P(BC)

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的； (2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。 解 事件

A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。

?P(A?(AB?AC))=P(A)?P(AB?AC)=30% ?P(AB?ABC)?7%

(1) P(ABC)(2) P(ABC)(3) P(BAC)?P(B)?[P(AB)?P(BC)?P(ABC)]?23%

P(CAB)?P(C)?[P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?20%

P(ABC?+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%

?ACB?BCA)?P(ABC)?P(ACB)?P(BCA)?14%

(4) P(ABC(5) P(A?B?C)?90%

?1?P(A?B?C)?1?90%?10%

(6) P(ABC)1.26 某班有的概率是多少？

n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到

N解 用

Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i?1,2,?,N。要求P(?Ai)。

i?1 5

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