2014年高考复习理科数学试题(48)(2)

X X 1 1.5 2 2.5 3 13 1 1 410510X的数学期望为 E(X)?1?3?1.5?3?2?1?2.5?1?3?1?1.9. ????6分

20104510P 3 20(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,Xi(i?1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则

P(A)?P(X1?1且X2?1)?P(X1?1且X2?1.5)?P(X1?1.5且X2?1). ??8分

由于顾客的结算相互独立,且X1,X2的分布列都与X的分布列相同,所以

P(A)?P(X1?1)?P(X2?1)?P(X1?1)?P(X2?1.5)?P(X1?1.5)?P(X2?1)

?3333339. ??????11分 ??????20202010102080故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为9.??????12分

8018. 方法一: （Ⅰ）证明：如图，

以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.则O（0,0,0），A（0，-3,0），B（4,2,0），C（-4,2,0），P（0,0,4）???1分

????????AP?(0,3,4),BC?(?8,0,0),????2分

????????????????由此可得AP?BC?0所以AP⊥BC，即AP⊥BC.????4分 ??????????????（Ⅱ）解：设PM??PA,??1,则PM??(0,?3,?4),??5分

??????????????????????BM?BP?PM?BP??PA?(?4,?2,4)??(0,?3,?4) ?(?4,?2?3?,4?4?),??6分

????????AC?(?4,5,0),BC?(?8,0,0). ????7分

MzP??设平面BMC的法向量n1?(x1,y1,z1),平面APC的法向量 ???n2?(x2,y2,z2),????8分

AxOBDyC????????x1?0,??BM?n1?0,??4x1?(2?3?)y1?(4?4?)z1?0,?由????得?即? ???2?3??8x?0,z?y,11???BC?n1?0,?14?4??

6

5????????x?y,???2?3??242?AP?n2?0,?3y2?4z2?0,可取n?(0,1,即?得? ),????10分由????????4x2?5y2?0,?34?4???AC?n1?0,?z2??y2,??4???可取n2?(5,4,?3),????12分 ?????2?3?由n1?n2?0，得4?3??0，

4?4?2解得??，????13分

5综上所述，存在点M符合题意，AM=3.????14分 方法二：

（Ⅰ）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得AD⊥BC,????1分 又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.????2分 因为PO∩AD=0，所以BC⊥平面PAD????3分

故BC⊥PA.????4分

（Ⅱ）解：如下图，在平面PAB内作BM⊥PA于M,连CM. ????5分 由（Ⅰ）中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC. ????6分 又AP?平面APC,所以平面BMC⊥平面APC。????7分 在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=41????8分 在Rt△POD中, PB2=PO2+OD2, 在Rt△PDB中, PB2=PD2+BD2,

所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.????9分 在Rt△POA中, PA=AO+OP=25,得PA=5????10分

2

2

2

PMAOBDCPA2?PB2?AB21?,????11分 又cos?BPA?2PA?PB3从而PM?PBcos?BPA?2,所以AM?PA?PM?3????13分 综上所述，存在点M符合题意，AM=3.????14分

时时，由S1?1?a1,得a1?19. 解（1）当n?11，??????2分 2当n?2 时，?Sn?1?an,??????????①

?Sn?1?1?an?1,????????????②

7

1an?1.??????4分 211所以数列?an?是以首项为，公比为的等比数列，??????5分

221求得an?nn?N*.????????7分

2上面两式相减，得an???（2）bn?1?log1an21?.????????????????????9分 nn?1?log1??22??1cn?n?1?n11???????????????????11分

n?n?1?nn?11??11??11?1??1?Tn?c1?c2?????cn??1???????????????? ??2??23??34?n?1???n?1?1＜1.?????14分 n?120. 解：（1）由已知可设圆C的方程为(x?m)2?y2?5(m?3) ．???????1分 将点A的坐标代入圆C的方程，得(3?m)?1?5 ，

即(3?m)?4，解得m?1，或m?5．???????????????3分 ∵m?3，∴m?1，∴圆C的方程为(x?1)?y?5 ．???????5分 （2）依题意，可得直线PF1的方程为y?k(x?4)?4，即kx?y?4k?4?0.?6分 若直线PF1与圆C相切，则

2222k?0?4k?4k?12?5????????????7分

∴4k?24k?11?0，解得k?2111，或k???????????????8分 22.

当k?1136时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去；????9分 2111当k?时，直线PF1与x轴的交点横坐标为?4，??????10分

2∴c?4，F1(?4,0)，F2(4,0)，????11分

∴由椭圆的定义得

2a?AF1?AF2?(3?4)2?12?(3?4)2?12?52?2?62，

8

∴a?32，即a?18， ∴b?a?c?2，????????????13分

22xy直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x?2y?4?0，椭圆E的方程为?????1 ．182222214分

22?x2ax?(1?4a)x?(4a?2)?2a??．??1分 221. 解：（1）f'(x)??x?2x?2a?2ax?12ax?1

因为x?2为f(x)的极值点，所以f'(2)?0．?????????????2分 即

2a?2a?0，解得a?0．???????????3分 4a?1又当a?0时，f'(x)?x(x?2)，从而x?2为f(x)的极值点成立．????4分

（2）因为f(x)在区间?3,???上为增函数，

22x?2ax?(1?4a)x?(4a?2)??? 所以f'(x)?2ax?1?0在区间?3,???上恒成立．??5分

①当a?0时，f'(x)?x(x?2)?0在?3,???上恒成立，所以f(x)在?3,???上为增函数，故a?0符合题意．????????????????6分

②当a?0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax?1?0对x?3恒成立，故只能

a?0，

所以2ax?(1?4a)x?(4a?2)?0在?3,???上恒成立． ??????7分

22令g(x)?2ax?(1?4a)x?(4a?2)，其对称轴为x?1?因为a?0所以1?2221， ???8分 4a1?1，从而g(x)?0在?3,???上恒成立，只要g(3)?0即可， 4a因为g(3)??4a?6a?1?0，

解得

3?133?13?a?．????????????9分 443?13． 4因为a?0，所以0?a??3?13?综上所述，a的取值范围为?0,?．?????????10分

4???1?x??b1b2（3）若a??时，方程f(1?x)?可化为lnx?(1?x)?(1?x)?．

3x2x

9

3

问题转化为b?xlnx?x(1?x)?x(1?x)?xlnx?x?x在?0,???上有解，

223即求函数g(x)?xlnx?x?x的值域．??????????11分 因为g(x)?x(lnx?x?x)，令h(x)?lnx?x?x，

2223

则h'(x)?1(2x?1)(1?x) ，??????????12分 ?1?2x?xx 所以当0?x?1时h'(x)?0，从而h(x)在?0,1?上为增函数，

当x?1时h'(x)?0，从而h(x)在?1,???上为减函数，?????13分 因此h(x)?h(1)?0．

而x?0，故b?x?h(x)?0，

因此当x?1时，b取得最大值0．?????????????14分

10

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