概率数学课后习题1-4章答案(3)

?2?y2?于是，fY(y)?f1(y)?f2(y)???e,y?0.

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料 ?0,其他?

2习题3－1

2．箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件，现从中随即抽取一件，记

?1,若抽到一等品?1,若抽到二等品 X2＝?，试求随即变量(X1,X2)的分布律. X1??0,其他0,其他??解：显然(X1,X2)的各取值数对为：?0,0?，?0,1?，?1,0?，?1,1?.

11C10C10P?X1?0,X2?0??1?0.1；P?X1?0,X2?1??1?0.1；

C100C1001C80P?X1?1,X2?0??1?0.8；P?X1?1,X2?1??0.

C100故，(X1,X2)~????0,0??0.1?0,1??1,0??1,1??0.10.8?. ?0?3．将一枚均匀硬币抛掷3次，以X记正面出现的次数，以Y记正面出现与反面出现次数之差的绝对值，求随即变量(X,Y)的分布律.

解：设Z表示“反面向上的次数”，则Z的取值为：0,1,2,3，X的取值为：0,1,2,3，且X?Z?3，

?1?X,Z~B?3,?，又Y?X?Z.故Y的取值只可能为：1,3.

?2?于是，(X,Y)的取值数对为：?0,1?，?0,3?，?1,1?，?1,3?，?2,1?，?2,3?，?3,1?，?3,3?. 因为X?Z?3，所以显然有：

P?X?0,Y?1??P?X?3,Y?1??P?X?2,Y?3??P?X?1,Y?3??0.

1?1??1?P?X?0,Y?3??P?X?0,Z?3??P?X?0??C?????；

8?2??2?030331?1??1?P?X?1,Y?1??P?X?1,Z?2??P?X?1??C3?????； 8?2??2??1??1?3P?X?2,Y?1??P?X?2,Z?1??P?X?2??C?????；

?2??2?82322 11

P?X?3,Y?3??P?X?0,Z?0??P?X?0????0,1??X,Y?~??0?

?0,3??1,1??1,3?183801. 8 ?新疆财经大学数学考研辅导班教学资料2,1??2,3??3,1??3,3??31?.

?0088??k(6?x?y),0?x?2,2?y?44．设随即变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?? ，0,其他?（1）确定常数k；（2）求P?X?1,Y?3?； #（3）求P?X?1.5?；#（4）求P?X?Y?4?.

????解：（1）因为

??????f(x,y)dxdy??dx?k?6?x?y?dy?k??6?2x?dx?8k?1， 所以k?020y2421. 8（2）P?X?1,Y?3??dx1?01?6?x?y?dy ?82o31?5?1?71?3????6?x???dx??????. 80?2?8?22?8（3）P?X?1.5??1.541x1.5????????f(x,y)dydx

0y1.5?1?1?????6?x?y?dy?dx???2?6?x??6?dx

8800?2?x1?81.527. ??6?2xdx??032y（4）P?X?Y?4??P??X,Y??D????f(x,y)dxdy

D0?1dx?80224?x?6?x??2?x??dx1???????6?x?ydy?6?x2?x?????

22x80?2?12??12?8x?x2dx?. 1603???Ae?(2x?3y),x?0,y?05．设随即变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??求常数A ，0,其他?的随即变量(X,Y)的分布函数F(x,y).

????y解：因为

??????????f(x,y)dxdy?1，

????????0xA?1?2x??1?3y??2x?3y??1， 而??f(x,y)dxdy?A?edx?edy?A??e????e?6?2?0?3?0????00

12

故A?6.

当x?0且y?0时，F(x,y)?P?X?x,Y?y?

xy?2x新疆财经大学数学考研辅导班教学资料

?6?e??dx?e?3ydy?1?e?2x1?e?3y.

???????1?e?2x1?e?3y,x?0,y?0故F(x,y)??.

0,其他?????习题3－2

1．完成下列表格：

Y x1 x2 p(j2) 解：因为p(1)iy 0.1 y y 0.2 pi(1 0.4 0.2 0.2 ??pij，pj?1?(2)j??pij，所以有：

i?1?(1)(1)?1?p1(1)?1?0.4?0.6； P?X?x1,Y?y2??p1?p11?p13?0.1；p2(1)P?X?x2,Y?y3??p2?p21?p22?0.2；p1(2)?p11?p21?0.3； (2)(2)p2?p12?p22?0.3；p3?p13?p23?0.4.

?cx2y,x2?y?14．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??（1）试确定常数c；（2）求边缘概率，其他?0,密度.

????112y解：（1）因为

1????4??f(x,y)dxdy??dx?cx?1x2ydy

y?x2??1,1?o?1,1?y?1??cx2?1211?x4. dx?c?1，所以c?4221??x?1212?21??xydy,?1?x?1?x21?x4,?1?x?1（2）fX(x)??f(x,y)dy??24； ??8x????0,其他?0,其他????y21?752?xydx,0?y?1?y2,0?y?1fY(y)??f(x,y)dx???4??2.

?y?????0,其他0,其他???

习题3－4

13

1．设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律的

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料 部分数值,试将其余数值填入表中的空白处 Y y1 y2 y3 pi(1) x ?1? ?? ?24? 1 8?1??? ?12??1??? ?4??1??? ?4??3??? ?4? 1 x 1 81 6?3??? ?8? p(j2) ?1??? ?2??1??? ?3?解：因为X与Y相互独立，所以pij?pi(1)p(j2).

11p(1)8?3；p(1)?1?p(1)?1；p(2)?p12?8?1； p2?(21?1224p12)14p1(1)12461p111(2)8?1； p11?p1(1)p1(2)???；p2?12?6424p1(1)124111111?2?(2)(2)p3?1?p1(2)?p2?1???；p13?p1(1)p3???；

6234312313311(1)(2)(1)(2)p22?p2p2???； p23?p2p3???.

428434??1,1?2．设随机变量X与Y相互独立且具有相同的分布,X的分布律为X~?11?,求P?X?Y?及P?X?Y?.

?,?2??2??1,1?解：由题意，Y~?11?，且pij?pi(1)p(j2)?i,j?1,2?，可求得?X,Y?的联合分布列如下：

?,?2??2

Y ?1 pi(1) 1212?1 1 pj (2)141412141412于是，P?X?Y??P?X??1,Y??1??P?X?1,Y?1??111??. 442P?X?Y??P?X?1,Y??1??1. 44．设随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y)??

?4xy,0?x?1,0?y?1,问X与Y是否独立?

其他.?0,14

?1?4xydy,0?x?1?2x,0?x?1解：因为fX(x)??f(x,y)dy???， ??0新疆财经大学数学考研辅导班教学资料 0,其他????0,其他????1?4xydx,0?y?1?2y,0?y?1， fY(y)??f(x,y)dx?????00,其他????0,其他???显然f(x,y)?fX(x)?fY(y)，故随机变量X与Y是独立的.

5．设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在?0,1?上服从均匀分布，Y的概率密度为

y?1?2?fY(y)??2e,??0,y?0, (1)求X和Y的联合概率密度；(2)设含有a的二次方程为a2?2Xa?Y?0，试

y?0.求a有实根的概率.

解：（1）因为X~U?0,1?，所以X的概率密度函数为fX(x)??由于X与Y是两个相互独立的随机变量，则

y?1?2?f(x,y)?fX(x)?fY(y)??2e,0?x?1,y?0.

?0,其他??1,0?x?1.

?0,其他#（2）要使a的二次方程为a?2Xa?Y?0有实根，只要??X?Y?0.

22yyx1??1?2PX?Y?0??dx?edy???1?e2?2000??2?1x22??dx ??2y?x2?1,1?xx?1?x??x1022?e?e??1??e2dx?1?2???dx??dx?

0??2????2????22ox?1?1?2????1????0???1?2??0.8413?0.5??0.1445.

习题4－1

1．甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为X~??0.4?若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好?

解：平均每日次品较少者为好，即数学期望较少者为好.

显然，E?X??1?0.3?2?0.2?3?0.1?1，E?Y??1?0.5?2?0.2?0.9， 因为E?X??E?Y?，所以可以认为机器乙的平均日次品量较少，故较好.

?0123?123??0???；Y~???0.30.20.1??0.30.50.20?15

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