线性代数 期末考试题2(4)

11 系数行列式D=111111110?1?0?1?2?0?1?2??(a?1) 32a?20?1a?10a?1（1）a??1时，方程组有惟一解，即?能由向量组?1,?2,?3线性表示且表达式惟一。 （

2

）

???a??1时，

?1A???1??31?0?b??2???111???????210b?

b?10???1???11??b2????当b??3时，R(A)?2?R(A)?3，故方程组无解，即?不能由向量组?1,?2,?3线性表示；

???2??10?1?3??111????

5（3）a??1,b??3时，A?0?1?2?5?012??????0000????0000?????R(A)?R(A)?2，故方程组有无穷多个解即?能由向量组?1,?2,?3线性表示且表达式不

惟一。

?1???3??????????通解x?k?2?5。表达式为??(|k?3)?1?(5?2k)?2?k?3,(k?R)

??????1????0??222⒉ 二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2x2x3

（1） 求正交变换X?PY化二次型为标准形，并写出标准形； （2） 指出f(x1,x2,x3)?1表示何种曲面。

222解：（1）f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2x2x3??x1x2?200??x1???x?，对应的

x3??031???2???013????x3??矩阵

?2? A?0???00310??,A??E?1??3?2??000?3?101??3???(22?)(?4 ) 特征值为?1??2?2,?3?4 17

?000??011??1??0????????? ?1??2?2, A?2E?011?000,?1?0,?2??1 ?????????????011???000???0???1????200??100??0??????? ?3?4,A?4E?0?11?01?1,?3?1 ?????????01?1????000???1????????0??0??10?1??????22????,p???,P??0?2 单位化：p1?0,p2?????2?3?2??2????????0?222?????0????2???2???2222正交变换X?PY化二次型f?2y1 ?2y2?4y3?0??2? 2??2?2??（2）f(x1,x2,x3)?1表示椭球面。

五．证明题（7分/每小题，共14分）

1．已知n阶方阵A,B均为正定阵，证明A?B为正定阵。

证明：设X?0，由A,B均为正定阵，有

XTAX?0.XTBX?0?XTAX?XTBX?XT(A?B)X?0

故 A?B为正定阵。

???????? 2．已知?1,?2线性无关，?1,?2,?3线性相关且 R(?1,?2,?)?3，证明

?1,?2,?3?? 线性无关。

???????? 证明：由?1,?2线性无关，?1,?2,?3线性相关得：?3可由?1,?2线性表示即 ??? ?3?k1?1?k2?2

?? ???1?2?3??????1?2??? ???1?2???????k1?1?k2?2???? ??????????????????1?2???

??????? 所以R(?1,?2,?3??)?R(?1,?2,?)?3

???? 故 ?1,?2,?3?? 线性无关。 18

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库线性代数 期末考试题2(4)在线全文阅读。