2011.9-2012.1复变函数试卷--A答

得分 评阅人 一、判断分析题（要求写出充分的理由.每小题4分，共8分）

1.函数f(z)?xy2?ix2y在z平面上处处解析。 解答：该命题错误。

记u(x,y)?xy2，v(x,y)?x2y，显然它们在平面上具有连续的偏导数，

?u?v?u?v?y2，且?2xy，?2xy ，?x2 ?x?x?y?y?u?v要使柯西—黎曼条件条件满足，只须 y2???x2，

?x?y?u?v2xy?????2xy，即x?0，y?0

?y?x故此函数仅在点z?0可导，而在复平面上处处不解析．

2.z?0是函数f(z)?1的孤立奇点。

sin(1/z)解答：该命题错误。 因为f(z)?11(k?0,?1,?2,...)， 的奇点有z?0,z?k?sin(1/z)1，当k??时，z?0。 k?所以在z?0的任意去心邻域内，总包括奇点z?从而z?0不是f(z)?1的孤立奇点。

sin(1/z)3.函数sinz在z平面上是有界的.

解答：该命题错误。??????????1分

sinz在z平面上无界。

eiz?e?iz这是因为sinz?，令z?iy(y?0)，

2ieiz?e?iz|??(y???)?3分 则|sinz|?|2i 得分 评阅人 二、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分.共8小题，每小题2分，共16分）

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暨南大学《复变函数》试卷A 考生姓名： 学号：

1. 设z??3?4i，则argz???arctan2. 32. 21?i=e(ln2?2k?)(cosln2?isinln2),k?0,?1,....

?2?i,n?1,z0?D1?3．若C是单位圆周，n是自然数，则?dz??0,n?1，z0?D．或者C(z?z)n0?0,z0?D??2?i,n?1,z0?D ??0,n?1,z0?Dnzn4．幂级数?nz的收敛半径为 R? 1 .幂级数?n的收敛半径R? 2 .

n?0n?12??2n?

5．函数f(z)在区域D内解析是指 f(z)在区域D内每一点可导 . 6．在扩充复平面上亚纯函数在各奇点的残（留）数之和为_0__. 7．指数函数??ez的基本周期为2?i.

?28. 设 w?sine，则 Re(w)? 0 . 9. f(z)，g(z)分别以z?a为m级极点与n级极点，则z?a为

f(z) g(z)i的m?n级极点(m?n)，n?m级零点(m?n)，可去奇点(m?n). 得分 评阅人 三、单项选择题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分.共8小题，每小题2分，共16分）

1．区域1?z?2的边界是z?1，z?2，它们的正方向( B ).

(A)z?1，z?2都是“逆时针” (B)z?1“顺时针”， z?2“逆时针” (C)z?1，z?2都是“顺时针” (D)z?1“逆时针”， z?2“顺时针” 2．设f(z)在单连通区域D内解析, L为D内一条简单闭曲线, 则必有（ D ）.

A．?Im[f2(z)]dz?0. B．?Re[f2(z)]dz?0. L L

C．? Lf(z)dz?0.2

D．?f(z)dz?0.

L23．f(z)的孤立奇点a为本性奇点的充要条件是( B ).

limf(z)?0 B．limf(z)不存在 C．limf(z)?b(??) D．limf(z)?? A．

z?az?az?az?a第 2 页 共 8 页

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4．设z??3?2i，则argz?( C ). A． arctg2322 B． arctg C． arctg?? D． arctg?? 32335．设f(z)在z?1内除三个五级极点外解析，并有四个四级零点，在z?1时解

析且无零点，则?f?(z)dz?( B ). f(z)z?1A．?2?i B．2?i C．?1 D．1 6．ei?(cos??isin?)9，则??( A ). ?6(cos4??isin4?)A．?33? B．?15? C．15? D．33? 7．设C为不经过点与-1的正向简单闭曲线，则?zdz为( D ).

c(z?1)(z?1)2A．

??i2 B．

???i C．0 D． A、B、C都有可能 28．设f(z)在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于

D．如果f(z)在C上的值为9，那么对C内任一点z0,f(z0) ( C ).

1A．等于10 B．等于0 C．等于9 D．

9??9. 复级数?an??(an?ibn)收敛的充要条件是( C ).

n?1n?1A．an?0 B．?an收敛 C．实级数?an及?bn皆收敛

n?1n?1n?1???D．实级数?an及?bn至少有一个收敛

n?1n?1??得分 评阅人 四、计算题（共5小题，每小题9分，共45分）

1．设f(z)在|z|?1内解析，在闭圆z?1上连续，有f(0)?1，求积分：

?|z|?1[4?(z2?1dz)]f(z). 2zz第 3 页 共 8 页

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1dz4f(z)f(z))]f(z)[?zf(z)?)]dz?????4分 =23?|z|?1|z|?1zzzzf??(0)f??(0)]?2?i[4?]?8?i??if??(0)???4分 =2?i[4f(0)?22解：?[4?(z2?

2. 试求函数f(z)?tanzz2??6的所有有限孤立奇点，并判断它们的类型。

z解：显然z?0,zk?k???6是f(z)的奇点。又由于cosz的零点为

?62都是有限孤立奇点。因为z?0既是分子的一级零点，也是分母的一级零点，

,k?0,?1,.，.所以.而zk??，故0,zk都是f(z)的奇点。

?,zk

所以它是f(z)的可去奇点。其余奇点都是f(z)的一级极点

1，求f(z)在 (1) 圆环3?|z|?4；(2) 圆环1?|z?3|???

z2?7z?12内的洛朗展式．

解：(1) 在3?|z|?4内，

111111 f(z)?????zz3z?4z?341?1?4z1??zn1??3n ???n??n

4n?04zn?0z??zn1??3n???n?1??n?1

zn?0zn?04

(2)在1?|z?3|???内，

1111f(z)?????

z?4z?3z?3z?3?13．设f(z)?

11?z?311??1 ?? ??z?3z?3n?0(z?3)n??1 ??. ??????????4分 n?2n?0(z?3)

??11?z?3z?31

4．求把上半平面Imz?0映射为单位圆|w|?1的分式线性映射w?f(z)并满足条件：f(i)?0,argf?(i)?0.

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解：所求分式线性映射应有下列形式.w?ei?z?a，由f(i)?0得a?i， z?a?2i1i(??2)?又由argf(i)?0，即f?(z)?e ,f?(i)?e2(z?i)2i?2??sin2x5．利用留数计算下列实积分?dx的值． 20x(1?x)而argf?(i)?0，有 ???。故w?iz?i. z?i解：令R(z)?1，则R(z)在实轴上有孤立奇点z?0，作以原点为圆心、2z(1?z)r为半径的上半圆周Cr，CR:|z|?R的上半部，使Cr,[?R,?r],CR,[r,R]构成封闭曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i,从而

R?r?rf(x)dx??f(z)dz??CR?Rf(x)dx???f(z)dz?2?iResf(z)

Crz?i2iz?1??e2ix?1edx??Im?2πi?Res?R?z?,i???lim?dz 于是：I?Im????2r?0crz?1?z2???22x1?x??e2izdz???πi．故： 而 limr?0?cr?1?z2?z?π?1??e?2?1?e2izI?Im?2πi?lim?πi??Im?2πi????πi???1?e?2?． ?z?iz?z?i?2??2??2?2?

6．求复数w?1?z?z?1?的实部，虚部，模. 1?z解:设z?x?iy,则

221?z?1?x??iy?1?x?y??2yiw??? ??????????4分 221?z?1?x??iy?1?x??y1?x2?y22y故Rew? ??????????2分 Iw?m22221?x?y1?x?y????w?7．计算

1?1?x??y22?x2?y2??1?2?x2?y2?.??????????2分

2z?2? sinzz?z?1?2dz之值.

解：由柯西积分定理可得：

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