静安区2011一模数学试卷答案

高三年级数学试卷 解答（文理合） 2011.1

1. 1?i； 2．（文）x （理）16； 3. 15； 4. -4； 5. -1；

1211111y26. ； 7. （文）（理）[?1,1]；8.?????x2?1

2n?12n?2n?12n?12n?2 419．0，； 10. k≤ 10；或k＜11；或k=10；11. （文）10； （理）56；

210?212. （文）3， （理）2； 13． 2?；14. 3?5=。

215． D ；16. D ；17． B ； 18． C 19．解（1）当a?1时，

?2x?1x??1，………………3分 f(x)?|x?1|?ax???1x??1?简图如右图所示.……………………………………………3分 （2）f(x)?|x?1|?ax???(a?1)x?1?(a?1)x?1x??1，……3分 x??1?a?1?0?a?1?0当?或?，………………………………3分

a?1?0a?1?0??即a?1或a??1时，f(x)在R上分别是增函数和减函数。所以，当a?1或a??1时，函数f(x)在R上具有单调性. ……………………………………………………2分

20．解：（1）f(x)?1?cos2x?2cosx?2(2cos2x?1)?3cos2x?2cosx?1??1…………3分

?3cos2x?2cosx?0?cosx?0或cosx??x?k??2 …………………………………………………2分 32,k?Z …………………………………………………………2分 231242（2）因为：f(x)?3cosx?2cosx?1?3(cosx?)?，……………………………………4分

33,x?2k??arccos所以，当cosx??1时，f(x)max?4；…………………………………………………………………2分 当cosx?21．解：

（1）h(x)?x?lg|a?2|，…………2分 ；g(x)?(a?1)x；……………………………2分 （2）由函数f(x)在区间[(a?1),??)上是增函数得?22?14时，f(x)min??…………………………………………………………………………2分 33a?1?(a?1)2，解得 2 - 1 -

3a??或a??1，…………………………………………………………………………………………2分

2由函数g(x)是减函数得a?1?0，解得a??1，………………………………………………………1分 再由命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是[?1,??)?(?33,?1)?(?,??).……3分 22（3）f(2)?4?2a?2?lg|a?2|?6?2a?lg(a?2),……………………………………………………2分 因为在a?(?333,??)上递增，所以f(2)?6?2?(?)?lg(??2)?3?lg2，即：222f(2)?(3?lg2,??).………………………………………………………………………………………3分 22．解：

?1?d?q2?7（1）设?an?的公差为d，?bn?的公比为q，则依题意有q?0且?

?1?2d?q?7解得d?2，q?2． …………………………………………………………………………2分 所以an?1?(n?1)d?2n?1，bn?qn?1?2n?1．…………………………………………2分

（2）因为cn?an?2010?2n?2011?0?n?1005.5，所以，当1?n?1005时，cn?0，当n?1006时，cn?0.……………………………………………………………………………………2分 所以当n?1005时，An取得最小值. ……………………………………………………2分 （文）（3）

352n?32n?1an2n?1?n?1．Sn?1?1?2???n?2?n?1 ① ………………………2分 2222bn252n?32n?12Sn?2?3????n?3?n?2 ②

2222222n?1②－①得Sn?2?2??2???n?2?n?1 …………………………………………………2分

222211?n?12n?11?2n?1?11?2?2??1??2???n?2??n?1?2?2?2?n?1 ……………………………3分 122?2?221?22n?3?6?n?1．……………………………………………………………………………………………1分 2（理）（3）K?1111(1?)(1?)??????(1?)等价于K?F(n)min，

a1a2an2n?1 - 2 -

其中F(n)?12n?1(1?111)(1?)??????(1?)；……………………………………2分 a1a2an111111)(1?)?????(1?)[(1?)?]?0? a1a2an2n?12n?32n?1因为:F(n?1)?F(n)?(1?2n?2)?2n?12n?3?112n?1?12n?3?2n?22n?1)?1?2n?2?2n?3?2n?1

?4n2?8n?4?4n2?8n?3?4?3显然成立，所以F(n)是递增的。……………4分

从而K?F(n)min?F(1)?23. …………………………………………………………2分 3或因为： F(n?1)2n?22(n?1)2(n?1)????1，所以：F(n)是递增2F(n)(2n?3)(2n?1)4(n?1)?12(n?1)23.………………………………2分 3的。………………………4分； 从而K?F(n)min?F(1)?23．（文）解：（1）设P（a ,0）,则PA?(?a,1) ,PQ?(3?a,2),由题意得PA?PQ，所以

(?a)(3?a)?2?0， …………………………………………………………………………2分

解得a?2,1，所以点P应取在（2，0）或（1，0）； …………………………………2分 （2）l不能过点R（3，3）；因为若l过点R，设P（a ,0）, …………………………2分

则PA?(?a,1) ,PR?(3?a,3),由题意得PA?PR，所以(?a)(3?a)?3?0，即

a2?3a?3?0，……………………………………………………………………………2分

因为??9?4?3?0，所以点P取不到，从而l不能过点R（3，3）. ……………2分 （3）设直线l可以经过点B（x，y），P（a，0），………………………………………1分 则PB?(x?a,y),PA?(?a,1),BP?PA?0?a?ax?y?0，

2a2?ax?y?0有解

?x2?4y?0即

y x2y?，………………………………………3分

4x2}，即直线l所以，直线l可以经过的点B的集合是{(x,y)|y?4

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O x x2移动的区域是抛物线y?及以下部分。…………………2分 4简图如右…………………………………………………………2分 23.（理）解：（1）由y?x?a?(x?a)2?(x?a)2?4ax…………………………2分 可知：y2?4ax(x?0,y?0)，所以轨迹C为抛物线y2?4ax(x?0,y?0)在第一象限内的部分，包括原点；………………………………………………………………………………………………2分 （2）d1(P)?114x2?4y2?x2?y2，…………………………………………2分 x?x?y?y?221d2(P)?4(x?a)2?|x?a|， ………………………………………………………………………2分

2分别表示P点到原点和到直线x?a的距离；……………………………………………………………2分 （3）设若存在为A1(x1,y1)A2(x2,y2)，则由d1(A1)?ad2(A1)且d1(A2)?ad2(A2)得

222223?x2?y2?a|x?a|??11?x1?4ax1?a(x1?2ax1?a)?(a?1)x1?(4a?2a)x1?a?0?1，即?， 即?， ?22222232????x2?4ax2?a(x2?2ax2?a)?(a?1)x2?(4a?2a)x2?a?0?x1?y2?a|x2?a|所以x1、x2是方程(a?1)x?(4a?2a)x?a?0的两个根.………………………………………2分

223??(4a?2a2)2?4(a?1)a3?0???0???4a?2a2要使A1,A2存在，必须?x1?x2?0，即?，所以必须a?1.…………2分 ?0?xx?0?a?1?12?a3?0??a?132a4a?2a当a?1时，由于(x1?a)(x2?a)?x1x2?a(x1?x2)?a??a?a2?

a?1a?1a3?4a2?2a3?a3?a2?5a2???0，即x1?a与x2?a异号.…………………………………2分 a?1a?12或设f(x)?(a?1)x2?(4a?2a2)x?a3，由f(a)?(a?1)a2?(4a?2a2)a?a3?a3?a2?4a2?2a3?a3??5a2?0 得a介于x1、x2之间，即x1?a与x2?a异号.……………………………………………2分 所以d1(A1)?d1(A2)=a(|x1?a|?|x2?a|)=a|(x1?a)?(x2?a)|

(2a2?4a)24a32aa?=a=5a?4。…………………………………………………………2分 2a?1a?1(a?1)

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