平面向量复习题及答案(2)

(AB?AC)?(AB?AC)?0，则?ABC为等腰三角形；④若AC?AB?0，则?ABC为锐角三角形.上述命题正确的是_____________

三、解答题(12'+12'+12'+12'+12'+14')

17、ABCD是梯形，AB∥CD，且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点，已知AB＝a，

?????AD??????＝b,试用a、b??表示MN。

18、已知|a|?4，|b|?2，且a与b夹角为120°求： ⑴(a?2b)?(a?b)； ⑵|2a?b|； ⑶a与a?b的夹角。

19、设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值。

第三讲 平面向量 一、选择题

1．(2010?安徽，3)设向量a＝(1,0)， b＝12，12，则下列结论中正确的是A．|a|＝|b| B．a?b＝22 C．a－b与b垂直 D．a∥b 解析：，A项，∵|a|＝1， |b|＝ 122＋122＝22， ∴|a|≠|b|；

B项，∵a?b＝1312＋0312＝12；

C项，∵a－b＝(1,0)－12，12＝12，－12， ∴(a－b)?b＝12，－12?12，12＝14－14＝0； D项，∵1312－0312≠0，∴a不平行b.故选C. 答案：C

( ) 2．若向量a与b不共线，a?b≠0，且c＝a－a?aa?bb，则向量a与c的夹角为 ( ) A．0 B.π6 C.π3 D.π2 解析：∵a?c＝a?a－a?aa?bb ＝a?a－a2a?ba?b＝a2－a2＝0，

又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝π2，故选D. 答案：D

3．(2010?全国Ⅱ)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，

|b|＝2，则CD→＝ ( ) A.13a＋23b B.23a＋13b C.35a＋45b D.45a＋35b 解析：由角平分线的性质得|AD→|＝2|DB→|，即有AD→＝23AB→＝23(CB→－CA→)＝23(a－b)．

从而CD→＋AD→＝b＋23(a－b)＝23a＋13b.故选B. 答案：B 4．（2010?辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设OA→＝a，OB→＝b，则△OAB的面积等于 ( ) A.|a|2|b|2－?a?b?2 B.|a|2|b|2＋?a?b?2 C.12|a|2|b|2－?a?b?2 D.12|a|2|b|2＋?a?b?2

解析：∵cos〈a，b〉＝a?b|a||b|， ∴sin〈a，b〉＝ 1－cos2〈a，b〉 ＝ 1－a?b|a||b|2

＝|a|2|b|2－?a?b?2|a||b|，

∴S△OAB＝12|OA→|OB→|sin〈OA→，OB→〉 ＝12|a||b|sin〈a，b〉，

＝12|a|2|b|2－?a?b?2， 故选C. 答案：C

5．若向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，a≠±b，则a与b一定满足( ) A．a与b的夹角等于α－β B．a⊥b C．a∥b

D．(a＋b)⊥(a－b)

解析：∵a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)， a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，

∴(a＋b)?(a－b)＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝1－1＝0， 可知(a＋b)⊥(a－b)． 答案：D

二、填空题

6．(2010?陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m ＝________.

解析：a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，∴a＋b＝(1，m－1)， (a＋b)∥c，∴2＋m－1＝0，∴m＝－1. 答案：－1

7．(2010?江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________. 解析：|a－b|＝?a－b?2＝a2＋b2－2a?b ＝12＋22－23132cos 60°＝3. 答案：3

8．(2010?浙江)已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，

则|α|的取值范围是________．

解析：如图，数形结合知β=AB→，α＝AC→，|AB|＝1，C点在圆弧上运动，∠ACB＝60°， 设∠ABC＝θ，由正弦定理知ABsin 60°＝|α|sin θ，∴|α|＝233sin θ≤233，当θ＝90°时取最 大值．

∴|α|∈0，233. 答案：0，233 9．

得(x，y)＝(2m，－m)＋(－n，n)，

于是x＝2m－n，y＝－m＋n.由2m2－n2＝2，消去m、n得M的轨迹方程为x2－2y2＝2. 答案：x2－2y2＝2

三、解答题 10．

3cos γ＋4cos β＝－5， ① 同理可得，

4cos α＋5cos γ＝－3， ② 3cos α＋5cos β＝－4. ③ 解①②③联立方程组可得，

cos α＝0，cos β＝－45，cosγ＝－35，

即OA→?OB→＝0，OB→?OC→＝－45，OC→?OA→＝－35.

(2)由(1)知sin α＝1，sin β＝35，sin γ＝45.

如右图，S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA＝123131＋123131335＋123131345＝65.

11．已知向量a＝cos3x2，sin3x2， b＝cosx2，－sinx2，且x∈0，π2， 求：(1)a?b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a?b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值． 解：(1)a?b＝cos3x2?cosx2－sin3x2?sinx2＝cos 2x.

|a＋b|＝ cos3x2＋cosx22＋sin3x2－sinx22 ＝2＋2cos 2x＝2cos2x.

∵x∈0，π2，∴cos x≥0， ∴|a＋b|＝2cos x.

(2)f(x)＝cos 2x－4λcos x即 f(x)＝2(cos x－λ) 2－1－2λ2. ∵x∈0，π2，∴0≤cos x≤1.

①当λ<0时，当且仅当cos x＝0时， f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾．

②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，

f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－32， 解得λ＝12.

③当λ>1时，当且仅当cos x＝1时， f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32， 解得λ＝58，这与λ>1相矛盾． 综上所述，λ＝12即为所求．

∴x1x2＋14(x1x2)2＝0(x1x2≠0)． ∴x1x2＝－4.

∴MA→＝x1，－12x21＋2， MB→＝x2，－12x22＋2. ∵x1－12x22＋2－x2－12x21＋2 ＝(x1－x2)12x1x2＋2＝0，

∴MA→∥MB→，即AM→∥AB→. (2)解：∵MA→＝－2MB→，

∴x1＝－2x2，－12x21＋2＝－2－12x22＋2. ∴－2x22＋2＝x22－4，∴x2＝±2.

∴B(2，－1)或(－2，－1)，∴kAB＝22 或－22. ∴AB的方程为y＝±22x－2.

文 章来源

莲山 课件 w w w.5Y k J.C om

莲山课件 原文地址：http://www.5ykj.com/shti/gaosan/88858.htm

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