[中学联盟]浙江省台州市书生中学2017-2018学年八年级上学期期中(3)

（3）如图：若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点

P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论.

【答案】(1) △AOB为等边三角形；（2）证明见解析；（3）AP=2AO，理由见解析. 【解析】试题分析:(1)根据∠BOX=150°, ∠AOX=90°,计算出∠AOB=60°,又因为AO= AB,所以可以判定△ABO是等边三角形,(2)在AC上截取AM=CE,先证∠AEB=60°,理由是根据题意可得△AOB为等边三角形, △BOC为等腰直角三角形,确定出∠ABD度数,根据AB=BC,且夹角∠BAC=∠BCA,利用SAS得到△BCM和△BAE全等,利用全等三角形的性质可得BM=BE,得到△BEM是等边三角形,得到BE=EM,由AE=EM+AM,等量代换即可求证, (3)AP=2AO,理由是根据题意得到BG=BE,AB=OB,

利用等式的性质得到∠ABG=∠OBE=60°,利用外角的性质得到∠APO=30°,在直角三角形中,利用30度所对直角边等于斜边的一半可以得到AP=2AO. 试题解析:(1)∵OB与x轴正半轴夹角为150°,x轴⊥y轴, ∴∠AOB=150°-90°=60°, ∵AO=AB,

∴△AOB为等边三角形,

（2）在AC上截取AM=EC,可得AM+EM=CE+EM,即AE=CM, ∵△AOB为等边三角形, △BOC为等腰直角三角形, ∴∠OBC=90°,∠ABO=60°, ∵D为CO的中点,

∴BD平分∠OBC,即∠CBD=∠OBD=45°, ∴∠ABD=105°,∠ABC=150°, ∴∠BAC=∠BCA=15°, ∴∠AEB=60°,

在△ABE和△CBM中,AB=CB,∠BAE=∠BCM,AE=CM, ∴△ABE≌△CBM（SAS）, ∴BM=BE,

∴△BEM为等边三角形, ∴BE=EM,

∴AE=AM+EM=CE+BE,

（3）AP=2AO,理由为:

∵△AOB与△BGE都为等边三角形, ∴BE=BG,AB=OB,∠EBG=∠OBA=60°,

∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA,即∠ABG=∠OBE, 在△ABG和△OBE中,AB=OB,∠ABG=∠OBE,BE=BG, ∴△ABG≌△OBE（SAS）, ∴△ABG≌△OBE（SAS）, ∴∠BAG=∠BOE=60°, ∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°,

∵∠GAO为△AOP的外角,且∠AOP=90°, ∴∠APO=30°,

在Rt△AOP中,∠APO=30°, 则AP=2AO．

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