例说辅助圆的作用

例说辅助圆的作用

有些问题乍看与圆没有什么联系，解答时添加辅助圆却能使问题方便获解. 一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角

例1 (2014年河南)已知在正方形ABCD中，CD?2，若点P满足PD?1，且

?BPD?90?，求点A到BP的距离.

?BP是以点D为圆心以1为半径的⊙D的切线，点P解 QPD=1，?BPD?90?，

为切点，

?BP?PD，BD?2,

RtVBPD中，

BP?2BD?P2D?22?12. ?3 作AM?BP于M，则AM即为点A到BP的距离.

第一种情况:如图1，当BP与正方形的边AD的交点为N时. 设AN?x，BN?y,

则DN?2?x，PN?3?y.

QRtVANB:RtVPND, ANBNAB???. PNDNPD即xy2, ??13?y2?x??x?22?6解得?, ??y?23?2在RtVABN中，

AM?ABgAN2gx3?1, ??BNy2

第二种情况:如图2，当BP与正方形的边CD的交点为N时. 设BN?x，CN?y,

则PN?3?x，DN?2?y,

QRtVBCN:RtVDPN, BNCNBC???. DNPNPD即xy2, ??12?y3?x??x?23?2解得?,

??y?22?6容易得到RtVABM:RtVBNC ?AMABAM2?，即. ?BCBNx2?AM?3?1. 2 二、已知角看作辅助圆直径所对的圆内角

例2 (2014年广州)已知平面直角坐标系中两定点A(?1,0)，B(4,0)，抛物线

y?ax2?bx?2(a?0)过点A，B，顶点为C，点P(m,n)(n?0)为抛线上一点，当

?APB为钝角时，求m的取值范围.

解 把A(?1,0)，B(4,0)分别代入y?ax2?bx?2，得

1?a???0?a?b?2?2，解得 ??30?16a?4b?2??b???2?∴抛物线的解析式为y?123x?x?2 2232如图3，设AB中点为M，由A、B两点坐标得点M坐标为(,0)

∵抛物线与y轴交于点D(0,?2)，连结DM，AD，BD 则在RtVODM中

35DM?()2?22??AM?BM

22∴点D在AB为直径的⊙M上，这时?ADB?90?

根据抛物线的对称性可知，抛物线上还存在点D关于直线x?也在以AB为直径的⊙M上，这时?AEB?90? ∵点P(m,n)在抛物线上，

∴当?APB为钝角时，m的取值范围是?1?m?0，或3?m?4.

三、辅助圆为待解直角三角形的旁切圆 例3 (2016年徐州)如图4，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AD、CD上，若?EBF?45?，则VEDF的周长等于

3的对称点E(3,?2)，2

解 如图4，以点B为圆心以正方形的边AB为半径画圆B，则边AD和CD与圆B分别相切于点A和C.

作圆B的切线FE'，交边AD于E'，和圆B相切于点A'，连结BE'、BA', 则BA'?BA，A'E'?AE'

又BE'?BE'

?VBA'E'?VBAE' ??A'BE'??ABE'

同理可得?A'BF??CBF

A'BE'??A'BF??AB'E??CBF? ??即?E'BF?45? 而?EBF?45?

12?AB4C?5 ???E'BF??EBF

∵射线BE'和BE在射线BF的同侧， ∴BE'和BE重合 ∴点E'和E重合 ∴EF与E'F重合

∴圆B是VEDF的旁切圆

∴VEDF的周长等于2CD?4.

四、所求线段作为辅助回的弦或者直径

例4 (2014年南通)矩形ABCD中，AB?3，AD?4，E为AB上一点，AE?1，M是AD上一动点，直线EM与直线CD交于点F，MC?EM，求线段MC的长.

解 如图5 在RtVBCE中 EC?2EB?B2C?22?42 ?25取EC中点O，作OH?AD，垂足为H，

AE?CD1?31??2?EC 222 作RtVBCE的外接圆O，且与AD交于N，M两点(O与AD距离小于半径).

1而OM?ON?EC?5 2则OH??HM?HN?OM2?OH2?5?4?1

∴在直角梯形OCDH中，

DH?5?4?1

?DM?DH?HM?2?1?1 DN?DH?HN?2?1?3

由于CM和CN都与EF垂直，且点M，N都在线段AD上，所以DM，DN都符

合题意.

在RtVCDM中，得

MC?CD2?DM2?32?12?10 在RtVCDN中，得

NC?CD2?DN2?32?32?32 故MC的长度为10或32 例5 (2014年济南)如图6，抛物线y??323x?x过x轴上点A，顶点为B，对称162轴与x轴相交于点C，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上的动点，?PMN为直角，边MN与AP相交于点N.设OM?t，试探究:t为何值时线段PN的长度最小，最

小长度是多少.

解 由抛物线的解析式得，顶点B的坐标为(4,3)，A(8,0).

QBC是对称轴，C是OA的中点， ?B是PA的中点， ?OP?2BC?6.

如图6，以PN为直径作⊙K，当⊙K与x轴相切时PN的值最小(此时点M是切点)， 否则当⊙K与x相离时?PMN就成了锐角不合题意;当⊙K与x轴相交时，有?PMN为直角但PN不是最小.

由OA?8，OP?6，得AP?10.

连结KM，则KM?OA，

KMAK?VAMK:VAOP，??

POAPKMAP?KM?即 POAPKM10?KM?亦即. 61015?KM?

415即⊙K的半径为

41525?AK?10??

44AM?(252152)?()?5 4415. 2?OM?3，即t?3时PN的长度最小，PN的最小值为

由上述分析可见，墉助圆具有整合题中信息，提高解题效率的作用，如果不作辅助圆，有些问题利用其他方法可能很难奏效，同学们必须重视这一方法的运用.

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