2008年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A卷）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数f(x)?5?4x?x2?x2在(??,2)上的最小值是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设A?[?2,4)，B?{xx2?ax?4?0}，若B?A，则实数a的取值范围为 （ ）
A．[?1,2) B．[?1,2] C．[0,3] D．[0,3)
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多
2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
23，乙在每局中获胜的概率为，且各
31局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数?的期望E?为 （ ） A.
24181 B.
26681 C.
27481 D.
6702432
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm，则这三个正方体的体 积之和为 （ ）
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
?x?y?z?0,5．方程组?的有理数解(x,y,z)的个数为 （ ） ?xyz?z?0,?xy?yz?xz?y?0?A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设?ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则
A. (0,??) B. (0,5?12) C. (5?12,sinAcotC?cosAsinBcotC?cosB) D. (的取值范围是（ ）
5?12,??)
5?12二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．设f(x)?ax?b，其中a,b为实数，f1(x)?f(x)，fn?1(x)?f(fn(x))，n?1,2,3,?，若
f7(x)?128x?381，则a?b? . 8．设f(x)?cos2x?2a(1?cosx)的最小值为?12，则a? ．
9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法
1
共有 种．
10．设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?an?n?1n(n?1)，n?1,2,?，则通项an= ．
11．设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)?2008 ，且对任意x?R，满足
x f(x?2)?f(x)?3?，2f(x?6)?f(x)?63?2x，则f(2008)= ．
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知函数f(x)?|sinx|的图像与直线y?kx (k?0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最
大值为?，求证：
14．解不等式log2(x12?3x10?5x8?3x6?1)?1?log2(x4?1)．
15．如题15图，P是抛物线y2?2x上的动点，点B,C在y轴上，圆
(x?1)?y?1内切于?PBC，求?PBC面积的最小值．
22cos?sin??sin3??1??4?2．
2
题15
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）
一、（本题满分50分）
如题一图，给定凸四边形ABCD，?B??D?180?，P是平面上的动点，令
f(P)?PA?BC?PD?CA?PC?AB．
（Ⅰ）求证：当f(P)达到最小值时，P,A,B,C四点共圆； （Ⅱ）设E是?ABC外接圆O的?满足：AB上一点，又DA,DC是?O的切线，AC?
二、（本题满分50分）
设f(x)是周期函数，T和1是f(x)的周期且0?T?1．证明： （Ⅰ）若T为有理数，则存在素数p，使
1pAEAB?32，BCEC?3?1，?ECB?12?ECA，
2，求f(P)的最小值．
一题图
是f(x)的周期；
（Ⅱ）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列{an}满足1?an?an?1?0 (n?1,2?,??，)且每个an
3
(n?1,2,???)都是f(x)的周期．
三、（本题满分50分）
设ak?0，k?1,2,?,2008．证明：当且仅当?ak?1时，存在数列{xn}满足以下条件：
k?12008（ⅰ）0?x0?xn?xn?1，n?1,2,3,?； （ⅱ）limxn存在；
n??（ⅲ）xn?xn?1?20082007k?ak?1xn?k??ak?0k?1xn?k，n?1,2,3,?．
4
2008年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A卷）
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题
的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档
次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数f(x)?5?4x?x2?x2在(??,2)上的最小值是 （ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3 [解] 当x?2时，2?x?0，因此f(x)??2，当且仅当
12?x1?(4?4x?x)2?x2?12?x?(2?x)?2?12?x?(2?x) ?2?x时上式取等号．而此方程有解x?1?(??,2)，因此f(x)在(??,2)上
的最小值为2．
2．设A?[?2,4)，B?{xx2?ax?4?0}，若B?A，则实数a的取值范围为 （ D ）
A．[?1,2) B．[?1,2] C．[0,3] D．[0,3) [解] 因x2?ax?4?0有两个实根 x1?a2?4?a24，x2?a2?4?a24，
故B?A等价于x1??2且x2?4，即
a2?4?a24??2且
a2?4?a24?4，
解之得0?a?3．
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多
2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
23，乙在每局中获胜的概率为，且各
31局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数?的期望E?为 （ B ） A.
24181 B.
26681 C.
27481 D.
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