曾量子力学题库(网用)(3)

eBeB???的平均值。 sx??x。设t?0时电子自旋“向上”（sz?），求t?0时smc2mc2 22. （8）假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B沿z轴正向，电子磁矩

??表为He???????gs，在均匀磁场中的势能为：V????B，其中（gs?2）为电子的磁矩,自旋用s2me??泡利矩阵s???表示。 ?2???； ??H?t??（2）假设t?0时，电子自旋指向x轴正向，即sx?，求t?0时，自旋s的平均值；

2?（3）求t?0时，电子自旋指向y轴负向，即sy??的几率是多少？

2?的粒子处于沿 x 方向的均匀磁场B中。已知t=0时，???S 23. （8）自旋s?1，并具有自旋磁矩M02（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：i?粒子的sz??，求在以后任意时刻发现粒子具有sy???的几率。

22?表象中求自旋角动量在(sin?cos?,sin?sin?,cos?)方向的投影 24.（8）在Sz??S?sin?cos??S?sin?sin??S?cos? Snxyz的本征值和所属的本征函数。

25．（8）两个自旋为1/2

??1???2?2

????的粒子，在(s1z,s2z)表象中的表示为?，其中，i 是第???????1??2?2i

个粒子自旋向上的几率，?i是第i个粒子自旋向下的几率。

?a. 求哈密顿量H?V0(?1x?2y??1y?2x)的本征值和本征函数（V0为一常数）；

??2?1,?2??1?0，求t时刻发现体系在态?1??2?0,?2??1?1

b. t=0时，体系处于态?1的几率（注：?ix,?iy为第i个粒子泡利算符的x, y分量）

??s?1?s?2，求总自旋的平方及 z 分量 26.（8）考虑由两个自旋为 1 的粒子组成的体系，总自旋S?,S?) 的共同本征态，并表示成s?1和s?2本征函数乘积的线性叠加（取?=1）(S。 z227.（8）一束自旋为

11的粒子进入Stern-Gerlach装置SG（I）后被分成两束，去掉其中sz??的一221束，另一束（sz???）进入第二个SG（II），SG（I）与SG（II）的夹角为?。则粒子

2束穿过SG（II）后又被分为两束，求这两束粒子的相对数目之比。

?z表象中??x的矩阵表示 28.（8）试求??和P?。令|29.（8）自旋为1/2的粒子，其自旋角动量算符和动量算符分别为S?的共同本征态，其本征值分别为?,P?,P?和S为Pzxyz试问：

（1）

（2）

px,py,pz,?1/2?

??S??P?。px,py,pz和??/2，算符A?是否为厄米算符？在以|p,p,p,?1/2?为基的空间中，A?的矩阵形式如何？ Axyz?的本征值是什么？求出A?,P?,P?,P?的共同本征函数系 Axyz??BS?的本征函数和本征值??AS30.（8）对自旋为1/2的粒子，Sy和Sz是自旋角动量算符，求Hyz（A与B是实常数）

?31.（8）电子处于沿y轴方向的均匀恒定磁场B中，t=0时刻在Sz表象中电子的自旋态为

?(0)????cos????，不考虑电子的轨道运动。 sin???（1）求任意t>0时刻体系的自旋波函数?(t)；

（2）在t时刻电子自旋各分量的平均值；

（3）指出哪些自旋分量是守恒量，并简述其理由。

32.（8）考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或

是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。

???（1）假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：S?s1?s2。

?2?求：S和Sz的本征值；

（2）假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，S和Sz的本征值；

（3）假设两电子系统哈密顿量为：H?Js1?s2，分别针对（1）（2）两种情形，求系统的能量。

?2???

33.（8）两个电子处在自旋单态?(00)?1[?(1)?(2)??(1)?(2)]中，其中?、?分别是自旋算符2Sz??/2 和Sz???/2的单粒子自旋态。

?1???2的本征态（??2分别是两个单电子的自旋算符）?1和? （1）试证明：?(00)是算符?；

（2）如果测量一个电子的自旋z分量，得Sz??/2，那么测量另一个电子的自旋Sz??/2的概率

是多少？

（3）如果测量?(00)态的一个电子的自旋Sy，测量结果表明它处在Sy??/2的本征态，那么再测

量另一个电子自旋x分量，得到Sx???/2的概率是多少？

34.（8）由两个非全同粒子组成的体系，二粒子自旋均为?/2，不考虑轨道运动，粒子间相互作用可

??As?1?s?2。设初始时刻（t?0）粒子1自旋朝上（s1z?1/2）写作H，粒子2自旋朝下

（s1z??1/2）。求t时刻

（1）粒子1自旋向上的概率； （2）粒子1和2自旋均向上的概率； （3）总自旋为0和1的概率

35.（8）质量为m的一个粒子在边长为a的立方盒子中运动，粒子所受势能V(x,y,z)由下式给出：

??0,x??0,a?;y??0,a?;z??0,a?V(x,y,z)??

???,others（i）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；

（ii）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写

出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为1，是费米子）； 2 （iii）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？

并写出归一化系统基态波函数。

??? 36.（2、4、6、8）已知t?0时，氢原子的波函数为?(r,sz,t?0)???????1?100(r)?2?，其中

??3?211(r)?2??nlm(r)?Rn.(r)Ylm(?,?)满足归一化条件?|?nlm(r)|2d3r?1。试

（1）写出任意t时刻的波函数?(r,sz,t)

????的可能取值和相应的几率以及平均值 ?、自旋S（2）求能量E、轨道角动量L和Lzz2?的平均值S （3）计算t时刻自旋分量Sxx（4）写出t时刻电子处在以原子核为球心，半径为R的球体积内，且Sz?式

37.（6、10）粒子处在无限深球方势阱中（1）求其径向波函数Rnr,0(r)和能量本征值Enr,0；（2）今

加上一微扰V'??r（?为小量），求能量一级修正值（只求第一激发态nr?1的结果）。

38. （6、10）一维无限深方势阱(0?x?a)中的粒子受到微扰

?的几率的表达2?'?Acos?x(0?x?a) Ha的作用，其中A为常数。求基态能量的二级近似与波函数的一级近似。

22?d122????m?x,若再加上一个外场作用39.（3、10）一维谐振子的哈密顿为H02mdx22?'?ax(a??1)，使用微扰论计算体系的能量到二级修正，并与严格解比较。 H??H??H?'，在H?表象中，H?和H?'表示为 40.（10）有一两能级体系，哈密顿量为H0001???? H0?0?E0?01??'?b????,H,E1?E2 ???E2??10??的本征值和本征态。 ?'为微扰，b表示微扰程度，试求H H0??1c??H?c3041. （10）设Hamilton量的矩阵形式为：??

?00c?2???（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似； （2）求H 的精确本征值；

（3）在怎样条件下，上面二结果一致。

??的矩阵为 ?中，H?与微扰H??H??H??，H 42.（10）设在表象H000?100??011???????H0?E0?010? H??c?101?

?112??002?????其中E0与2E0分别是基态与激发态的零级近似能量，c是微小量。 (1) 求基态的一级近似能量与零级近似态矢 (2) 激发态的二级近似能量与一级近似态矢。

??1?43.（10）已知系统的哈密顿量为H0??0?0?正。

0?100??0a0????0?，H???a0b?。用微扰法求能量至二级修

?0b0??3?????00?x,y?a44.（10）设粒子在二维无限深势阱V(x,y)??中运动，设加上微扰

?otherwhere????xy(0?x,y?a)。求基态和第一激发态的一阶能量修正。 HI45.（10）一个取向用角坐标

?和

?确定的转子作受碍转动，用下述哈密顿描述：

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