考点： 函数的最值及其几何意义． 专题： 计算题；导数的综合应用．
分析： 对函数求导，令导数f′（x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点
x=取极大值，即函数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．
2
n
22
n﹣1
解答： 解：f′（x）=2nx（1﹣x）﹣n×nx（1﹣x）2n﹣12n﹣1=nx（1﹣x）（2﹣2x﹣nx）=﹣nx（1﹣x）=0 得x=0，或x=1，或x=f（x）在（0，
）上单调递增，在（
）
n+2
，1）上单调递减，
∴f（x）在上的最大值为4（．
故选：D．
点评： 此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题，注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键，考查运算能力，属中档题．
14．（3分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足圆离心率的取值范围是（）
A． （0，1）
B． （0，] C． （0，
） D． =5．x0是方程f（x）﹣f′（x）?
=0的点M总在椭圆内部，则椭
=4的一个根，则x0所在区间为（） A． （1，2） B． （2，3） C． （3，4） D．（4，5）
考点： 根的存在性及根的个数判断；对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用换元法设f（x）﹣log4x=t，求出函数f（x）的表达式，利用导数化简方程，利用根的存在性定理进行判断即可．
解答： 解：设f（x）﹣log4x=t， 则f（t）=5，
即f（x）=log4x+t，
当x=t时，f（t）=log4t+t=5， 解得t=4，
∵在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数， ∴f（x）=log4x+4， 则f′（x）=
，
=4，
则方程f（x）﹣f′（x）=4等价为log4x+4﹣即log4x﹣
=0，
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即lnx4?log4x﹣=0， 则lgx﹣=0，
设h（x）=lgx﹣，则函数h（x）在（0，+∞）上为增函数， 则h（1）=lg1﹣1=﹣1＜0， h（2）=lg2﹣=lg
＜0，
h（3）=lg3﹣=lg＞0，
即在（2，3）内函数h（x）存在一个零点， 即x0所在区间为（2，3）， 故选：B
点评： 本题主要考查函数解析式的求解，以及函数零点的判断，利用函数零点的判断条件，将函数与方程进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上． 16．（3分）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为．
考点： 几何概型． 专题： 计算题．
分析： 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出事件：“劣弧对应的弧长大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解． 解答： 解：如图所示， ∵劣弧∴劣弧则劣弧
=1， =1，
的长度小于1的概率为P=
的长度小于1”
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故答案为：．
点评： 本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 17．（ 3分）已知A是曲线ρ=4cosθ上任一点，则点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为5．
考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： 把极坐标化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，即可得出点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为d+r．
22222
解答： 解：曲线ρ=4cosθ化为ρ=4ρcosθ，∴x+y=4x，∴（x﹣2）+y=4， 直线ρcosθ=﹣1化为x=﹣1．
∴圆心（2，0）到直线x=﹣1的距离d=3，
∴点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为d+r=3+2=5． 故答案为：5．
点评： 本题把极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．
18．（3分）曲线y=xe+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．
考点： 导数的几何意义． 专题： 计算题．
分析： 根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；
xx
解答： 解：y′=e+x?e+2，y′|x=0=3， ∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1． 故答案为：y=3x+1
点评： 本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．
x
19．（3分）已知P是椭圆的内切圆的半径为，则
考点： 椭圆的简单性质．
上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若△PF1F2=．
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专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案．
解答： 解：椭圆
+
=1的a=2，b=
，c=1．
根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2， 不妨设P是椭圆
+
=1上的第一象限内的一点，
S△PF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）?==|F1F2|?yP=yP． 所以yp=． 则
=（﹣1﹣xp，﹣yP）?（1﹣xP，﹣yP） =xp﹣1+yp=4（1﹣=
故答案为：．
点评： 本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义、向量的数量积基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 20．（3分）已知f（x）是定义在上的函数，g（x），h（x）是定义在R上的可导函数，且g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），并且f（x）满足以下三个条件：
①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）． 则f（）+f（
）=1．
2
2
）﹣1+yp=3﹣
2
考点： 导数的运算；函数的值． 专题： 函数的性质及应用．
分析： g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），可得，
f′（x）≥0，于是f（x）在R上单调递增．由f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），可得f（1）=1，因此（f）=，即可得出．
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=．必然有当时，（fx）=．可得，
解答： 解：∵g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x）， ∴
，
≥0，
∴f（x）在R上单调递增．
∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），∴f（1﹣0）=1﹣f（0），∴f（1）=1， ∴f（）=f（1）=，∴当∵∴∴
+
时，f（x）=．
，
， =1．
，∴
=．
故答案为：1．
点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21．（8分）某医院眼科某天测量300名求医者的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列． （1）求出最大频率；
（2）求出视力在4.6﹣5.0的人数．
考点： 频率分布直方图．
专题： 等差数列与等比数列；概率与统计．
分析： （1）根据频率分布直方图，得出4.6～4.7间的频率最大，利用频数、等比数列的知识求出最大频率值；
（2）根据后6组的频数成等差数列，且和为261，求出公差d，即可计算所求的结果． 解答： 解：（1）根据频率分布直方图，得组距为0.1， 则4.3～4.4间的频数为300×0.1×0.1=3； 4.4～4.5间的频数为300×0.1×0.3=9，
3
所以4.6～4.7间的频率最大，为3×3=81，
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