概率论与数理统计及其应用课后答案(浙江大学_盛骤版)(8)

?y，0?y?0.5???1?y，0.5?y?1?0，其他?，

显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以验证了

X,Y不是相互独立的。

25，解：引入随机变量定义如下

?1Xi???0第i个球落入第i个盒子第i个球未落入第i个盒子1n

~N(n,1n)则总的配对数X故所以，E(X)?n??i?1Xi，而且因为P{Xi?1}?，所以，X。

n?1n?1。

第4章

1，（1）设Z（2）设Z正态分布

求P{Z?1.24}， ~N(0,1)，P{1.24?Z?2.37}，P{?2.37?Z??1.24}；

~N(0,1)，且P{Z?a}?0.9147?1.24}??(1.24)?0.8925，P{Z?b}?0.0526，求a,b。

解：（1）P{Z，

P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986

（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；

。

所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}，2，设X~N(3,16)，求P{4?X?8}，P{0?X?5}。 ~N(3,16)，所以4?34?X?34?X?348?34~N(0,1)。

解：因为XP{4?X?8}?P{}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.2957 36

概率论与数理统计及其应用习题解答

P{0?X?5}??(5?34)??(0?34)?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。

。

3，（1）设X（2）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X?25?C}?0.9544~N(3,4)，试确定C，使得P{X?C}?0.95C6。

C6)?2?(C6)?1

解：（1）因为P{X所以得到?(（2）因为

?(C?32C62?25?C}?P{?C?X?25?C}??()??(?)?0.9772,即

C6?2.0，C?12.0。

C?32)?0.95X?3~N(0,1)，所以P{X?C}?1??(3?C2)?0.95，即

。

)?0.05,或者?(，从而

3?C2?1.645，C2??0.294，已知美国新生儿的体重（以g计）X（1） 求P{2587.75?X?4390.25}；

~N(3315,575)。

（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小

于2719的个数，求P{Y解：根据题意可得（1）P{2587.75 （2）P{XX?3315575?4}。

~N(0,1)。

575)??(2587.75?3315575)?X?4390.25}??(4390.25?3315

??(1.87)??(?1.2648)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655（或0.8673）

?2719}??(2719?3315575)?1??(1.04)?0.1492，

根据题意Y~B(25,0.1492)，所以

4P{Y?4}??Ck?0k25?0.1492k?0.850825?k?0.6664。

5

5，设洗衣机的寿命（以年计）X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了

年，求其寿命至少为8年的条件概率。 解：所要求的概率为

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概率论与数理统计及其应用习题解答

P{X?8|X?5}?P{X?8}P{X?5}?1??(1.06)1?0.85542.3???0.17615?6.41??(?0.92)0.82121??()2.31??(8?6.4)6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）

解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量

X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)

X,Y,则

（1）P{11.7?

X?12.3,11.7?Y?12.3}?P{11.7?X?12.3}P{11.7?Y?12.3}

211.7?11.9??12.3?11.92???()??()????(2)??(?1)??0.81850.20.2??2?0.6699；

（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为

?12.4?11.9?1?P{X?12.4,Y?12.4}?1?P{X?12.4}P{Y?12.4}?1???()?0.2??2

?1?0.99382?0.0124。

?1607，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值?均方差为?的正态分布，若要求P{120为多少？ 解：根据题意，

X?160，

?X?200}?0.80，允许?最大

?~N(0,1)。所以有 )??(120?160)?2?(40)?1?0.80P{120?X?200}??(200?160???1.28,?，

即，?(40?)?0.9??(1.28)，从而

40???31.25。

故允许?最大不超过31.25。

38

概率论与数理统计及其应用习题解答

8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在d?C，液体的温度X（以?C计）是一个随机变量，且X（1） 若d?90 ~N(d,0.5)，

2，求X小于89的概率；

（2） 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至

少为多少？ 解：因为X（1）P{X~N(d,0.5)，所以

2X?d0.5~N(0,1)。

?89}??(89?900.5)??(?2)?1??(2)?0.0228；

80?d0.50.5)?0.99?2.326（2）若要求P{X即?(80?d0.5)?0.01?80}?0.99，那么就有P{X?80}?1??(，

或者?(d?800.5)?0.99??(2.326)，从而

d?80，

最后得到d?81.163，即d至少应为81.163。

9，设X,Y相互独立，且X服从数学期望为150，方差为9的正态分布，Y服从数学期望为100，方差为16的正态分布。 （1） 求W1?X?Y，W2??2X?Y，W3?(X?Y)/2的分布；

（2） 求P{X?Y?242.6}，P{(X?Y)/2?125?5}。

~N(150,9),Y~N(100,16)。

解：根据题意X（1） 根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）

的性质，立刻得到

W1~N(250,25)， W2~N(?200,52)， W3~N(125,254)

（2） 因为 W1

~N(250,25)，W3~N(125,~N(0,1)，

25X?Y?25054?X?Y?/2?1255/25)，所以 ~N(0,1)。

，

因此P{X?Y?242.6}??(242.6?250)?1??(1.48)?0.0694P{(X?Y)/2?125?5}?1?P{?5?(X?Y)/2?125?5}

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概率论与数理统计及其应用习题解答

55???1???()??(?)?2.52.5??

?2?2?(2) ?0.0456

~N(10,0.2)，

210，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计）X垫圈直径（以mm计）Y~N(10.5,0.2)，X,Y2相互独立。随机地取一

只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。 （2）在（1）中若X~N(10,0.2)，Y~N(10.5,?)22，问控制?至多为

多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。 解：（1）根据题意可得X为P{X?Y~N(?0.5,0.08)。螺栓能装入垫圈的概率

?0?(?0.5)??Y}?P{X?Y?0}????????(1.77)?0.96160.08??。

（2）X?Y~N(?0.5,0.04??)，所以若要控制

2?0?(?0.5)P{X?Y}?P{X?Y?0}????2?0.04?????0.90??(1.282)， ??即要求

0.50.04??2?1.282，计算可得??0.3348。表明?至多为0.3348

才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。

W11,设某地区女子的身高（以m计）

~N(1.63,0.025)，男子身高（以

2m计）M~N(1.73,0.05)。设各人身高相互独立。（1）在这一地区随

2机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。 解：（1）因为M

?W~N(0.1,0.003125)，所以

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概率论与数理统计及其应用习题解答

P{W?M}?P{M?W?0}??(0?0.10.003125)??(?1.79)?1?0.9633?0.0367；

（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为

P{W?1.60}?1??(1.

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