2013年北京市顺义区高三二模数学理科及答案(2)

16.(I)证明:在长方体ABCD?A1B1C1D1中,因为A1B1?平面A1ADD1,所以A1B1?AD1.

因为AA1?AD,所以四边形ADD1A1为正方形,因此AD1?A1D, 又A1B1?A1D?A1,所以AD1?平面A1B1D.又A1B1//CD,且A1B1?CD,

所以四边形A1B1CD为平行四边形.又E在CD上,所以AD1?平面A1B1E. ??4分 (II)取AB1的中点为N,连接NF.因为F为AA1的中点,所以NF//因为E为CD的中点,所以DE?1CD, 211A1B1且NF?A1B1, 22而CD//A1B1,且CD?A1B1,所以NF//DE,且NF?DE,

因此四边形NEDF为平行四边形,所以DF//EN,而EN?平面AB1E, 所以DF//平面AB1E.?????????????9分 (III)如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A?xyz,设AB?a,

?a??a?则A?0,0,0?,D?0,1,0?,D1?0,1,1?,E?,1,0?,B1?a,0,1?,故AD1??0,1,1?,AB1??a,0,1?,AE??,1,0?.

?2??2?由(I)可知AD1?平面A1B1E,所以AD1是平面A1B1E的一个法向量. 设平面AB1E的一个法向量为n??x,y,z?,

?ax?z?0,?则n?AB1?0,n?AE?0,所以?a

x?y?0??2令x?1,则y??aa??,z??a,所以n??1,?,?a?. 22??z A1B1FND1C1Ay ED设AD1与n所成的角为?,则

n?AD1nAD1?x BCcos???a?a2.因为二面角A?B1E?A1的大小为45?, a221??a243a25a221?42,解得a?1,即AB的长为1.????14分 2所以cos??cos45?,即?高三数学(理工类)试卷 第6页(共9页)

17.解:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除?35,40?外的频率和为0.70,?x?1?0.70?0.06.??3分 5500名志愿者中,年龄在?35,40?岁的人数为0.06?5?500?150(人).

(II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名, “年龄不低于35岁”的人有8名.故X的可能取值为0,1,2,3,

3121C8C12C82C12C8142844,P?X?1??,, ??P?X?0??3??PX?2??332859595C20C20C203C1211, P?X?3??3?C2057故X的分布列为 X P 所以EX?0?0 14 2851 28 952 44 953 11 5714284411171?1??2??3??.?13分 285959557952?ax18.解:f??x??(I)因为x??2ax?1ex22?1?ax??.

114?1?是函数y?f?x?的一个极值点,所以f????0,因此a?a?1?0,解得a?. 234?2?441时，x?是y?f(x)的一个极值点，故所求a的值为.??4分

332经检验，当a??ax(II)f??x??2?2ax?1ex22?1?ax?2??a?0? 令f??x??0得ax2?2ax?1?0??①

(i)当????2a??4a?0,即a?1时,方程①两根为

2a?4a2?4aa?a2?aa?a2?a. x1??,x2?2aaa此时f??x?与f?x?的变化情况如下表:

x f??x? f?x? 2????,a?a?a?a?? ???a?a?aa2 ?a?a2?aa?a2?a?,?aa?? ???a?a2?aa 0 极小值 ?a?a2?a??,??? ??a??? ↗ 0 极大值 — ↘ ? ↗ 高三数学(理工类)试卷 第7页(共9页)

2?a?a?a所以当a?1时,f?x?的单调递增区间为???,?a????a?a2?a?,?,???; f?x?的单调递

???a????a?a2?aa?a2?a,减区间为??aa???. ??(ii)当??4a2?4a?0时,即0?a?1时,ax2?2ax?1?0,

即f??x??0,此时f?x?在???,???上单调递增.

所以当0?a?1时,f?x?的单调递增区间为???,???.???13分 19.解:(I)由已知得2c?2且2a?2c?6,解得a?2,c?1,又b2?a2?c2?3,

x2y2??1.???3分 所以椭圆C的方程为43(II)设A?x1,y1?,B?x2,y2?.

当直线l与x轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点M在x轴上,且与O点不重合, 显然M,O,P三点不共线,不符合题设条件. 故可设直线l的方程为y?kx?m?m?0?.

?y?kx?m,222由?2消去整理得??3?4kx?8kmx?4m?12?0.??????① y2?3x?4y?12则??64k2m2?43?4k24m2?12?0,

8km?x?x??,12?4km3m??3?4k2?所以点的坐标为. ?,M??22?23?4k3?4k???xx?4m?1212?3?4k2?????因为M,O,P三点共线,所以kOM?kOP,33m?2kmm?0k???, 因为,所以, 2223?4k3?4k?x1?x2?m,?此时方程①为3x2?3mx?m2?3?0,则??312?m2?0,?m2?3

?x1x2?3???2所以AB??x2?x1???y2?y1??1?k2?x1?x2??4x1x2

222?????8?2m2m?41312?m2, 又d?, ?2212133?2??高三数学(理工类)试卷 第8页(共9页)

?m?4???3?m?4??52, 121322所以AB?d?12?m2???131644?3?3??22故当m??412132522??23,0时,AB?d的最大值为.???13分

331316??20.解:(I)函数y?f?x?的图像与坐标轴的交点为?0,2a?1?,

又f??x??2aex,?f??0??2a.函数y?g?x?的图像与直线y?1的交点为?2a,1?,

1111,?a2?, ,?g??2a??.由题意可知,2a?x2a2a41又a?0,所以a?.????????????????????3分

2又g??x??不等式x?m?xf?x??x可化为m?x?xf?x??x,

?1?x即m?x?xex.令h?x??x?xex,则h??x??1???x???e,

?2x??x?0,??1?x?x?2.又x?0时,ex?1,???x???e?1, 2x?2x?1故h??x??0,?h?x?在?0,???上是减函数,即h?x?在?1,5?上是减函数, 因此,在闭区间?1,5?上,若存在x使不等式x?m?xf?x??x成立, 只需m?h?1??1?e,所以实数m的取值范围是???,1?e?.?????8分 (II)证明:y?f?x?和y?g?x?公共定义域为?0,???,由(I)可知,a??f?x??g?x??ex?lnx.

1. 2令q?x??ex?x?1,则q??x??ex?1?0,?q?x?在?0,???上是增函数, 故q?x??q?0??0,即ex?1?x.① 令m?x??lnx?x?1,则m??x??当x?1时,m??x??0;当0?x?1时,m??x??0,

1?1, x?m?x?有最大值m?1??0,因此lnx?1?x.②

由①②得ex?1?lnx?1,即ex?lnx?2. 又由①得ex?x?1?x, 由②得lnx?x?1?x, ?ex?lnx, ?f?x??g?x??ex?lnx?2, 故函数y?f?x?和y?g?x?在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

高三数学(理工类)试卷 第9页(共9页)

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