1988年考研数学试题答案及评分参考 - 图文

1988 年全国硕士研究生入学统一考试

数学试题参考解答及评分标准

数 学（试卷一）

一．(本题满分 15 分，每小题 5 分)

n ? ( x ? 3)

(1) 求幂级数 ? 的收敛域.

n?1 n ?3

n

( x ? 3) ( n ?1) ?3解：因 lim n?1

? lim n x ? 3 ? 1 x ? 3 , 故 1 x ?3 ?1即0 ? x ? 6 时， n3( n ?1) 3 3 ( x ? 3) n ?? n??

n n ?3 幂级数收敛. ??3 分 ?

1 n

当 x ? 0 时，原级数成为交错级数 ?( ?1) ，是收敛的. ??4 分 n n?1 ? 1

，是发散的. ??5 分 当 x ? 6 时，原级数成为调和级数 ?

n?1 n

n?1

所以，所求的收敛域为?0, 6?.

(2) 已知 f(x)= e 2 ,f ??( x)?=1-x,且 ? (x) ? 0.求 ? (x)并写出它的定义域.

x

解：由 e ?1? x ，得 ?( x) ? ln(1 ? x) .

由 ln(1 ? x) ? 0 ，得1 ? x ?1 即 x ? 0 . 所以?( x) ??ln(1 ? x) ，其定义域为 ( ??, 0).

(3)设 S 为曲面 x ? y ? z ?1 的外侧，计算曲面积分 I ?

[?(x)]2??3 分

??5 分

222

??

xdydz ? ydxdx? zdxdy.

s

333

解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有

I ? 3

???

??3

( x ? y 2 ? z 2 )dv （其中 ? 是由 S 所围成的区域） ?

2 ? ? 1

2??2 分 ??4 分

??5 分

12? .

?0 d? ?0

d ??0 r ? r sin ?dr

22

???5

1988 年 ? 第 1 页

二、填空题：(本题满分 12 分，每小题 3 分)

1 (1) 若 f(t)= lim t (1 ? x ) 2tx ，则 ?

2t

x??

f ()?(2t ?1)e

(2) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间 ??1,1? 上的定 f(x)= x3 ,0?x?1 ,则 f(x)的付立叶级 2

数在 x=1 处收敛于 .

?2,?1?x?0

3

x ?1

3

(3) 设 f(x)是连续函数，且 ?0

1

f (t)dt ? x, 则 f(7)= 12

.

(4) 设 4*4 矩阵 A= (?,? 2,? 3,? 4 ) ，B= (?,? 2,?3,? 4 ) ，其中，?, ?,? 2 ,? 3,? 4 均为 4 维列向量，

且已知行列式 A ? 4, B ?1,则行列式 A ? B =. 40 .

三、选择题 ( 本题满分 15 分，每小题 3 分)

0

(1) 若函数 y=f(x)有 f ?(x ) ? 1 ，则当 ?x ? 0 时，该函 x= x 处的微分 dy 是

2

(A) 与 ?x 等价的无穷小 (C) 比 ?x 低阶的无穷小

0

(B)

(B) 与 ?x 同阶的无穷小 (D) 比 ?x 高阶的无穷小

(2) 设 y ? f ( x) 是方程 y???? 2 y??? 4 y ? 0 的一个解，若 f ( x) ? 0 ，且 f ?(x0 ) ? 0 ，则函数

f ( x) 在点 x0 (A)

(A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加 (D) 某个邻域内单调减少

22222222(3) 设有空间区域 ? : x ? y ? z ? R , z ? 0; 及 ? : x ? y ? z ? R , x ? 0, y ? 0, z ? 0, 则 (C) 1 2

xdv?4xdvydv ? 4??????2 ???? ydv (A) ?????(B) ???? 1 1 2 zdv?4zdv??????????2 xyzdv (C) (D) ???? xyzdv ? 4???? ?1 1 2

?

n (4) 若 ?an (x ?1) 在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处 (B)

n?1 (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定

(5) n 维向量组 ?1 , ?2 , , ?s (3 ? s ? n) 线性无关的充分必要条件是

(D)

(A) 有一组不全为 0 的数 k1 , k 2 , , ks , 使 k1 ?1 ? k2?2 ???? ks?s ? 0 .

?1 , ?2 , ,?s 中任意两个向量都线性无关.

(C) ?1 , ?2 , ,?s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.

(B) (D)

?1 , ?2 , ,?s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.

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四．(本题满分 6 分)

22? u ?u . x y 设 u ? yf ( ) ? xg( ) ，其中 f,g 具有二阶连续导数，求 x ? y

y x ?x 2 ?x?y

?u ? x ? ? y ? y ? y ? 解： ? f ? ? ? ? g ? ? ? g?? ?.

y

?x ?? ? ? x ? x ? x ?

22 ? u 1 ? x ? y ? y ?

? ??? 3 g??? ?. ? f ?? 2 y

?x y ???? x ? x ?

2

?u x ? x ? y ? y ?

??? 2 f ??? ??? 2 g??? ?.

y

?x?y y ???? x ? x ?

22

? u ?u ? 0 . 所以 x ? ? y ? ?x 2 ?x?y

??2 分

??3 分 ??5 分 ??6 分

五、(本题满分 8 分)

设函数 y=y(x)满足微分方程 y???3y?? 2y ? 2e , 且图形在点(0，1)处的切线与曲线

2

x

y ? x ? x ?1在该点的切线重合，求函数 y ? y(x).

x2x

解：对应齐次方程的通解为 Y ? C e ?C e . 1 2

设原方程的特解为 y ? Axe ,

??2 分

得 A ???2 .

x2x2x故原方程通解为 y ( x) ? C e ?C e ? 2xe . 1 2

又已知有公共切线得 y |x ?0 ?1, y?| x?0 ???1， ? c ? c ? 1, 1

即 ? 2 解得 c1 ? 1, c2 ? 0 .

?c1 ? 2c2 ?1

2x

所以 y ? (1 ?2 x)e .

六、(本题满分 9 分)

*x

??3 分 ??4 分 ??5 分

??7 分

??8 分

k

设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 r 2 (k>0 为常数，r 为质点 A 与 M 之

2

间的距离—)，质点 M 沿曲线 y ??2x ? x 自 B(2,0)运动到 O(0，0).求在此运动过程中质点 A

对质 M 点的引力所做的功.

解： MA ?{0 ? x,1 ? y}

??2 分

因引力 f 的方向与 MA 一致，

.k

故 f ? 3 {?x,1 ? y} r

r ? x ? (1 ? y) .

22

??4 分

1988 年 ? 第 3 页

从而W ?

k [ ?xdx ? (1 ? y ) dy] 3 r

? k ?(1 ? 1 ) .

5

?BO

??6 分

??9 分

0 0 ?1 0 0 ? ?1 ? ? ? ? ?

已知 AP ? PB ,其中 B ??? 0 0 0 ?, P ??? 2 ?1 0 ? 求 A 及 A5 .

? ? ? ?

? 0 0 ?1? ? 2 1 1 ? ? 1 0 0 ?

??1解：先求出 P ? ? 2 ?1 0 .

? ?

? ?

?4 1 1 ? ?

?1 0 0 ??1 0 0 ?? 1 0 0 ?

?1因 AP ? PB ，故 A ? PBP ? ? 2 ?1 0 ?? 0 0 0 ?? 2 ?1 0 ?

? ?? ?? ?

? ?? ?? ? ? 2 1 1 ?? 0 0 ?1 ??? ?4 1 1 ? ?1 0 0 ?? 1 0 0 ? ?1 0 0 ?

???

? ? 2 0 0 2 ?1 0 ? ?? 2 0 0 ??.

? ?? ? ? ?

? ?? ? ? ?

1 1 ? ? 6 ? 2 0 ?1 ?? ?4 ?1 ?1?

5个 5个

七、(本题满分 6 分)

??2 分

??4 分

从而 A ? AAAAA ?（PBP ）(PBP ) (PBP ) ? PB P =PBP =A .

5?1?1?15?1?1??6 分

?2 0 0 ? ? 2 0 0 ?

? ? ? ?

已知矩阵 A ??? 0 0 1 ? 与 B ??? 0 y 0 ? 相似，

? ? ? ?

?1? ? 0 1 x ? ? 0 0

?1(1) 求 x 与 y； (2) 求一个满足 P AP ? B 的可逆矩阵 P .

解：(1) 因 A 与 B 相似，故| ?E ? A |?| ?E ? B | ，即

八、(本题满分 8 分)

??1 分

? ? 2 0 0 ? ? 2 0 0 0 ? ?1 ? 0 ? ? y 0 ， 0 ?1 ? ? x 0 0 ? ?1

亦即 (? ?2)(? ? x? ?1) ? (? ?2)(? ?(1 ? y)? ? y) .

22

1988 年 ? 第 4 页

? 2 0 0 ? ? 2 0 0 ?

比较两边的系数得 x ? 0, y ? 1 .此时 A ? ? 0 0 1 ? ， B ? ? 0 1 0 ?.

? ? ? ?

? ? ? ? ? 0 1 0 ? ? 0 0 ?1?

(2) 从 B 可以看出 A 的特征值 ? ? 2,1, ?1 .

?1 ? ??

对 ? ? 2 ，可求得 A 的特征向量为 p ? 0 1?? .

??3 分

??4 分

?

? 0

?

? ? 0

对 ? ?1 ，可求得 A 的特征向量为 p2 ?

???1 ? .

?

?0 ? ??

对 ? ???1 ，可求得 A 的特征向量为 p ? 1 .

3 ? ?

? ? ? ?1?

因上述 p1 , p 2 , p3 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. ?1 0 0 ?

?1

令 P ? ( p , p , p ) ? ? 0 1 1 ? ，则 P 可逆，且有 P AP ? B .

123 ? ?

? ? ? 0 1 ?1?

九、(本题满分 9 分)

??

?1 ?

??7 分

??8 分

设函数 f (x) 在区间 ?a, b?上连续，且在 (a, b) 内有 f ?(x) ? 0 .证明：在 (a, b) 内存在唯一

的? ，使曲线 y ? f (x) 与两直线 y ? (? ), x ? a 所围平面图形面积 s1 是曲线 y ? f (x) 与两直 线 y ? (? ), x ? a 所围平面图形面积 s2 的 3 倍.

证：存在性 在[ a , b] 上任取一点 t ，令 tb

F (t) ? a[ f (t) ? f (x)]dx ? 3t[ f (x) ? f (t)]dx

?

? ?? f (t )(t ? a ) ? a f (t ) dx ?? ?3 ??t f ( x) dx ? f (t )(b ?t)则 F (t) 在[ a , b] 上连续.

又因 f ?(x) ? 0 ,故 f ( x) 在[ a , b] 上是单调增加的.

于是在 ( a , b) 内取定点 c ，有

F ( a ) ???3

???3

b

c

b

?

?

t

?

??

?

b

?

?? ?3 分?

?a [ f ( x ) ? f ( a )]dx ???3?a [ f ( x ) ? f ( a )]dx ? 3 ?c [ f ( x ) ? f ( a )]dx

b

?c [ f ( x ) ? f ( a )]dx ???3 ? f (?1 ) ? f ( a ) ?(b ? c ) ? 0, c ? ?1 ? b ..

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