2011湖南高考（理科）数学试题答案解析(3)

于是S2?S1S212|MD|?|ME|?32(1?k1)?|k1|(1?4k1)(4?k1)222

因此

?164(4k1?21k12?17)

由题意知，

164(4k1?21k12?17)?17322解得k12?4 或k12?1k11k1214。

k1?又由点A,B的坐标可知，k?k1??k1?1k1，所以k??32.

故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y?

22.（本小题满分13分）

已知函数f(x) =x3，g (x)=x+x。

32x和y??32x。

（Ⅰ）求函数h (x)=f(x)-g (x)的零点个数，并说明理由；

（Ⅱ）设数列{an}(n?N*)满足a1?a(a?0)，f(an?1)?g(an)，证明：存在常数M,使得对于任意的n?N*，都有an≤ M.

解析：（I）由h(x)?x3?x?x知，x?[0?,?，而h(0)?0，且

h(1?)??1h0?,?(2)?（1，2）内有零6则x?20为0h(x)的一个零点，且h(x)在，

点，因此h(x)至少有两个零点 解法1：h'(x)?3x?1?212x?12，记?(x)?3x?1?212x?12，则?'(x)?6x?14x?32。

当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多只有一个零点。又因为?(1)?0,?(33)?0，则?(x)在(33,1)内有零点，所

以?(x)在(0,??)内有且只有一个零点。记此零点为x1，则当x?(0,x1)时，

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?(x)??'(x1)?0；当x?(x1,??)时，?(x)??'(x1)?0；

所以，

当x?(0,x1)时，h(x)单调递减，而h(0)?0，则h(x)在(0,x1]内无零点； 当x?(x1,??)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1,??)内至多只有一个零点；

从而h(x)在(0,??)内至多只有一个零点。综上所述，h(x)有且只有两个零点。

?122?12解法2：h(x)?x(x?1?x)，记?(x)?x?1?x，则?'(x)?2x?212x?32。

当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多只有一个零点。因此h(x)在(0,??)内也至多只有一个零点，

综上所述，h(x)有且只有两个零点。 （II）记h(x)的正零点为x0，即x0?x0?3x0。

3（1）当a?x0时，由a1?a，即a1?x0.而a2?a1?由此猜测：an?x0。下面用数学归纳法证明：

a1?x0?x0?x0，因此a2?x0，

3①当n?1时，a1?x0显然成立；

②假设当n?k(k?1)时，有ak?x0成立，则当n?k?1时，由

ak?1?ak?3ak?x0?x0?x0知，ak?1?x0，因此，当n?k?1时，ak?1?x0成立。

3*故对任意的n?N，an?x0成立。

（2）当a?x0时，由（1）知，h(x)在(x0,??)上单调递增。则h(a)?h(x0)?0，即

a?a?3a。从而a2?a1?3a1?a?a?a，即a2?a，由此猜测：an?a。下面用

3数学归纳法证明：

①当n?1时，a1?a显然成立；

②假设当n?k(k?1)时，有ak?a成立，则当n?k?1时，由

ak?1?ak?3ak?a?a?a知，ak?1?a，因此，当n?k?1时，ak?1?a成立。

3*故对任意的n?N，an?a成立。

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综上所述，存在常数M?max{x0,a}，使得对于任意的n?N*，都有an?M.

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