高等数学期末考试试题及解答(4)

lnn?当x= -1时即n?1n由上面讨论知发散。

?收敛区间(-1,1]

十、解答下列各题

1.设Ω是由z=x2+2y2及z=3－2x2－y2所围的有界闭区域。试将化成直角坐标与柱面坐柱下的三次积分式。

11?x23?2x2?y2分别

原积分＝?dx?12??1?x21?dyx2?2y2?f(x,y,z)dz?

23?r21?cos2??原积分＝?d??dr00r21?sin2???f(rcos?,rsin?,z)rdz?x222.求正数?，使曲面xyz??与椭球面a并写出切点的坐标(a?0,b?0,c?0)。

解：设在点(x0,y0,z0)处相切

?y2b2?z2c?1在某点有相同的切平面，

a2y0z0b2x0z0c2x0y0???txyz000则 222222a??xt,b??yt,c??zt 000即

3??t 22232223235及 abc??x0y0z0t??t?27?

abca2b2c22????33 27，故

由此 相应点是

?abc??,,???,?333??abc???,,????,333??

?abc???,?,???333? ??abc??,?,????33? ?3高等数学下C（07）解答

一、填空题（每小题3分，共计15分）

? z?(x?y?z)x?y?z?ez?f(x,y)1．设由方程确定，则? x=?1。

23u?xy?z?xyz在点P0(0,?1,2)沿方向l?(1, 2, 1)的方向导数2．函数? u? l15P0=2。

223．L为圆周x?y?1，计算对弧长的曲线积分?Le

16

x2?y2ds=2?e。

22z?1?x?y4．已知曲面上点P处的切平面平行于平面

2x?2y?z?1?0，则点P的坐标是(1,1,?1)。

5．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(?1, 1]的定义为

?2f(x)??2?x

6．设

?1?x?00?x?1，则f(x)的傅里叶级数在x?2收敛于 1 。

二、解答下列各题（每小题7分，共35分）

f(x, y)在积分区域上连续，交换二次积分1I??0dy?3?y2f(x,y)dx1?1?y的积分顺序。

解：

I??dy?013?y1?1?y2f(x,y)dx2133?x

??dx?012x?x20f(x,y)dy??dx?f(x,y)dy??dx?1020f(x,y)dy

7．计算二重积分D成的在第一象限内的区域。

?22(x?y)dxdy??22x?y?1所围y，其中D是由轴及圆周

22?1(x?y)dxdy32?????d??rdr008 解：D2222z?4?x?yz?x?y8．设?是由球面与锥面围成，求三重积

I????f(x2?y2?z2)dxdydz分

?在柱坐标系下的三次积分表达式。

解：

I????f(x2?y2?z2)dxdydz?

?2

9．设对任意x?0，曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距

x?y?22??dxdy?4?x2?y2x?y22f(x2?y2?z2)dz??d??rdr?002?24?r2rf(r2?z2)dz1x?0f(t)dt等于x，求f(x)的一般表达式。 解：曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线为

Y?f(x)?f?(x)(X?x)

1xf(t)dt?f(x)?xf?(x)?y0?f(x)?xf(x)切线在轴上的截距等于。故x。则

?

x0f(t)dt?xf(x)?x2f?(x)

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于是xf??(x)?f?(x)?0，即

解方程得f(x)?C1lnx?C2

f??(x)?1f?(x)?0x。

x?y?2y?e?x。 10． 求解微分方程

解：

y?Ce?e2x2x?(ex?x)e?2x112xx?Ce?e?x?dx24

三、(10分)计算曲面积分???xdydz?ydzdx?(x?z)dxdy，其中∑是平面

2x?2y?z?2在第一挂限部分的下侧。

解：?V??xdydz?ydzdx?(x?z)dxdyz?0(下）

y?0(左）?????3dV????xdydz?ydzdx?(x?z)dxdy???xdydz?ydzdx?(x?z)dxdyx?0(后）??xdydz?ydzdx?(x?z)dxdy11?x??1??dx?00xdy?0?0

四、(10分)应用三重积分计算由平面x?0,y?0,z?0及z?2x?y?2所围成的

四面体的体积。 解：

2002x?y?2?V??dx?dz?dz3 ?1?2x?204422z?x?y?x?2xy?y五、(10分)求函数的极值。

3??zx?4x?2x?2y?0?3z?4y?2x?2y?0?y 解：解?，得(x,y)??(1,1),?0,0?。

??7622z?12x?2,z??2,z?12y?2 xyyy 而xx22z?12x?2?10,z??2,z?12y?2?10， (x,y)??(1,1)xyyy 对，xx知 (x,y)??(1,1)为极小值点。且极小值为-2。

22D:x?y??2x的正向边界，计算曲线积分六、(10分)设L是圆域

33?L(x?y)dx?(x?y)dy。

?(x 解：?L3?y)dx?(x?y3)dy

?

D:x2?y2??2x??2dxdy?2?

18

(x?1)n?n的收敛区间与和函数。 七、(10分)求幂级数n?1??解：R?1，收敛区间为[0,2)

?tns(t)??s?(t)??tn?1n?1n， 设则

和函数

为s(x)??ln(2?x)。

??1n?1?,s(t)??ln(1?)t1?t(x?1)n?n。故n?1的

??高等数学（下）试题五

一、填空题（18分） 1 设z?ln(x?y)，则dz2(1,1)? 。

(1,1,0)2222 设f(x,y,z)?x?y?z，则gradf? 。

3 如果D:x2?y2?4，则

x??eD2?y2dxdy? 。

222(x?y?z)dS? . ???4 设?是球面：x2?y2?z2?a2，则曲面积分

?5 若幂级数

?an?0nx??3在时收敛，则幂级数在x?3时 。 xax?nnnn?0?6 微分方程y?y?xe的特解形式设为y*= 。 二、选择题（18分）

1 下列表达式中肯定不是某个二元函数的全微分的是（ ）

（A）ydx?xdy （B）ydx?xdy （C）xdx?ydy （D）xdx?ydy。

''2x?2z2 使?2x?y成立的函数是（ ）

?x?y（A）z?x2y?（C）z?x2y?121xy?ex?y （B）z?x2y?xy2?ex 2212122xyxy?sin(xy) （D）z?xy?xy?e?3

223 下列命题正确的是（ ）

2222（A）若D：x2?y2?1，D1:x2?y2?1,x,y?0，则

??1?x?ydxdy?4??1?x?ydxdy

DD1（B）若D：x2?y2?1，D1:x2?y2?1,x,y?0，则（C）二重积分体积

??xydxdyD?4??xydxdy

D1??f(x,y)dxdy的几何意义是以z?f(x,y)曲顶，以D为底的曲顶柱体的

D 19

（D）若?:x2?y2?z2?R2,z?0;?1:x2?y2?z2?R2,x,y,z?0，则

???xdV??4???xdV。

?14 如果?代表球面x2?y2?z2?1,则

???x2?y2?z2dS=（ ）

（A）2? （B）4? （C）? （D）3? 5下列级数条件收敛的是（ ） （A）

43?(?1)n?1?n1??n11nn （B）?(?1) （C） （D） (?1)(?1)??2n?1n(n?1)nnn?1n?1n?1n?6 微分方程y''?2y'?x的特解形式设为y*=（ ） （A）ax （B）ax?b （C）ax （D）ax?bx。 三、计算与求解（49分）

1 求u?exyz在点（2,1,-1）处沿着从点（2,1,-1）到点(3,2,0)的方向的方向导数。 2 在平面xoy上求一点，使它到三直线x?0,y?0,x?2y?16?0的距离的平方和为最小。 3 计算4

max?x??eD2222,y2?dxdy，其中D??(x,y):0?x?1,0?y?1?。

计算

22222?，其中是球面和球面x?y?z?Rzdxdy????x2?y2?z2?2Rz(R?0)围成的公共区域。

5 计算

??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是锥面x?2?y2?2z2被平面z?2截得部分

的表面下侧。

xn6 求幂级数?的收敛区间及和函数。

n(n?1)n?1?7 求微分方程y?4y?x的通解。

四、（5分）设f(x)可积，且在???,??上恒有f(x??)?f(x)，求证：在f(x)的傅里叶

''2a0?级数??(ancosnx?bnsinnx)中，成立a2n?1?0,n?1,2,...。

2n?1五、（10分）设函数f(x)在x?0时连续，对任意x?0的闭曲线C有

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