小学数学四年级奥数基础教程目录(4)

小学奥数基础教程（四年级）

例4 求下列各除法运算所得的余数： （1）78÷5； （2）5÷3。

5555

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分析与解：（1）由55÷4＝13??3知，78的个位数与8的个位数相同，等于2，所以78可分解为10×a＋2。因为10×a能被5整除，所以78除以5的余数是2。

（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求5的个位数的方法求解。为了寻找5÷3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：

注意：表中除以3的余数并不需要计算出5，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，再除以3去求。比如，5除以3的余数是1，5除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同。这是因为5＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而 5=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，

（3×8）×5能被3整除，所以5除以3的余数与1×5除以3的余数相同。

由上表看出，5除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现。由55÷2=27??1知，5÷3的余数与5÷3的余数相同，等于2。

例5 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？ 分析与解：1时后有1×3=3（个）细菌，2时后有3×3=3（个）细菌??20时后，有3个细菌，所以本题相当于“求3÷7的余数”。

由例4（2）的方法，将3的各次方除以7的余数列表如下：

由上表看出，3÷7的余数以六个数为周期循环出现。由20÷6＝3??2知，3÷7的余数与3÷7的余数相同，等于2。所以最后还剩2个细菌。

最后再说明一点，a÷b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所得余数必然小于b，所以在b个数以内必会重复出现。 练习8

1．求下列各数的个位数字： （1）38； （2）29； （3）64； （4）17。 2．求下列各式运算结果的个位数字： （1）92＋57； （2）61+48+34； （3）46-62； （4）3×4+5×6。 3．求下列各除法算式所得的余数： （1）5÷4； （2）8÷6； （3）4÷7

第9讲 数字谜（一）

我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。 例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立： 5+7×8+12÷4-2＝20。

分析：等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。

从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。

解：5+（7×8+12）÷4-2=20。

例2 把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：

88100

111

9

11

7

8

9

10

22

31

5

7

9

31

215

38

30n

n

20

2

1

1

2

20

20

n

55

1

3

3

2

3

2

n

55

n

55

55355

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分析与解：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能： 2×3＝6或2×4＝8， 所以应当从乘法算式入手。

因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。

若乘法算式是2×4＝8，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意； 若乘法算式是2×3＝6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组： 4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）； 1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。 所以答案为 与

例3 下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入□，使得等式成立： □□□÷□□=□-□=□-7。

分析与解：因为左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被减数只能填9，由此知左端被除数的百位数只能填1，故中间减式有8-6，6-4，5-3和4-2四种可能。经逐一验证，8-6，6-4和4-2均无解，只有当中间减式为5-3时有如下两组解： 128÷64=5-3=9-7， 或 164÷82＝5-3＝9-7。

例4 将1～9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式都成立： □+□=6， □×□=8， □-□=6， □□÷□=8。

分析与解：因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：1＋5或2＋4；对于乘式也只有两种填法：1×8或2×4。加式与乘式的数字不能相同，搭配后只有两种可能： （1）加式为1＋5，乘式为2×4； （2）加式为2+4，乘式为1×8。

对于（1），还剩3，6，7，8，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式无法满足；

对于（2），还剩3，5，6，7，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式可填56÷7。答案如下： 2＋4＝6， 1×8＝8， 9－3＝6， 56÷7＝8。

例2～例4都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。 例5 从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大： [○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。

分析与解：为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。为叙述方便，将原式改写为：

[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。

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通过分析，A，C，D，H应尽可能大，且A应最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G应尽可能小，且B应最小，E，F次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C与D，E与F的值可互换。将它们代入算式，得到

[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。 练习9

1．在下面的算式里填上括号，使等式成立： （1）4×6+24÷6-5=15； （2）4×6+24÷6-5=35； （3）4×6+24÷6-5=48； （4）4×6+24÷6-5＝0。

2．加上适当的运算符号和括号，使下式成立： 1 2 3 4 5 ＝100。

3．把0～9这十个数字填到下面的□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）： □+□=□， □-□=□， □×□=□□。

4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符号，使各个等式成立： 4□4□4□4＝1， 4□4□4□4＝3， 4□4□4□4＝5， 4□4□4□4＝9。

5．将2～7这六个数字分别填入下式的□中，使得等式成立： □+□-□=□×□÷□。

6．将1～9分别填入下式的九个□内，使算式取得最大值： □□□×□□□×□□□。

7．将1～8分别填入下式的八个□内，使算式取得最小值： □□×□□×□□×□□。

第10讲 数字谜（二）

例1 把下面算式中缺少的数字补上：

分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。

（1）填百位与千位。由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。

（2）填个位。由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。

（3）填十位。由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。 所求算式如右式。

由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。

例2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：

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分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。

从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。

如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“学”≠2。

如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。 满足条件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。 满足条件的算式如右下式。

例2中的两题形式类似，但题目特点并不相同，解法也不同，请同学们注意比较。 例3 下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘数。

分析与解：由于个位上的“赛”ד赛”所得的积不再是“赛”，而是另一个数，所以“赛”的取值只能是2，3，4，7，8，9。

下面采用逐一试验的方法求解。

（1）若“赛”＝2，则“数”＝4，积=444444。被乘数为444444÷2＝222222，而被乘数各个数位上的数字各不相同，所以“赛”≠2。

（2）若“赛”＝3，则“数”=9，仿（1）讨论，也不行。

（3）若“赛”＝4，则“数”＝6，积=666666。666666÷4得不到整数商，不合题意。 （4）若“赛”＝7，则“数”＝9，积=999999。被乘数为999999÷7＝142857，符合题意。 （5）若“赛”＝8或9，仿上讨论可知，不合题意。 所以，被乘数是142857。

例4 在□内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。

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分析与解：为清楚起见，我们用A，B，C，D，?表示□内应填入的数字（见右上式）。

由被乘数大于500知，E=1。由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是5，故B，C中必有一个是5。若C＝5，则有 6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，

不可能等于□5□5，与题意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，则F=A=9，此时被乘数为695，无论C为何值，它与695的积不可能等于□5□5，与题意不符，所以G=0，F=A=4。此时已求出被乘数是645，经试验只有645×7满足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D为偶数，经试验知D=2。 右式为所求竖式。

此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容易的未知数，再依次填其余未知数。有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验决定取舍。 例5 在□内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。

分析与解：把左上式改写成右上式。根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除数应是99的两位数的约数，可能取值有11，33和99，再由商的个位数是5以及5与除数的积是两位数得到除数是11，进而知A＝C-9。至此，除数与商都已求出，其余未知数都可填出（见右式）。

此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补0、余数必须小于除数，以及空格间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃而解了。

例6 把左下方除法算式中的*号换成数字，使之成为一个完整的式子（各*所表示的数字不一定相同）。

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