第五章 扩域 - -伊犁师范学院数学学院(5)

现在我们证明重要的

定理4 域F的一个有限可离扩域E是F单扩域。

证明 若F是一个有限域，那么E也是一个有限域。这时由于有限域是它所含素域Δ的单扩域，有

E=?(?)?F(?)

而定理成立。

现在假定F有无限多个元素。 E既是F的一个有限扩域，就有

E=F(?1,?2,?,?n)

要证明这样的一个可离扩域是单扩域，显然只要证明：F的一个可离扩域F(?,?)一定是F的单扩域。

令?在F上的极小多项式是f(x)，?在F上的极小多项式是g(x)。作多项式

f(x)g(x)在F(?,?)上的分离域L。那么在L里

f(x)?(x??1)(x??2)?(x??s) g(x)?(x??1)(x??2)?(x??t)

这里我们可以假定???1，???1。

我们看下列的一组方程：

（1） ?i?x?j??1?x?1 (i?1,2,?,s；j?2,3,?,t)

由于?是F上的可离元，所以g(x)没有重根，而

?j??1 (j?2,3,?,t)

因此（1）中每一个方程在F里最多一个解。但F有无限多个元，所以能在F中找出一个元c?0来，使

?i?x?j??1?x?1 (j?1)

利用这个c，我们令

???1?c?1???c?

我们断言，F(?,?)?F(?)。令

h(x)?f(??cx)

那么h(x)和g(x)都属于F(?)[x]。我们看一看F(?)[x]里这两个多项式最大公因子什么。先考察，在L[x]里它们的最大公因子什么。在L[x]里

g(x)?(x??1)(x??2)?(x??t)

因此h(x)和g(x)在L[x]里的最大公因子只能是若干(x??j)的乘积。但由c的取法

h(?j)?f(??c?j)?f(?1?c?1?c?j)

?f(?1)?0, 若 j?0

?f(?i)?0, 若 j?0

所以在L[x]里，h(x)和g(x)的最大公因子是x??。但求两个多项式的最大公因子，可以用辗转相除法，而在L[x]里或F(?)[x]里应用辗转相除法于h(x)和g(x)所得结果是一样的。所以h(x)和g(x)在F(?)[x]里的最大公因子也是x??。这就是说，??F(?)，因而

????c??F(?)。

因此

F(?)?F(?,?)

证完

● 教学重点 可离扩域的定义。 ● 教学难点 定理4的证明。

● 教学要求 使学生掌握可离扩域的定义，利用可离扩域的定义以及定理1，2，3，4

能证明相关的命题。 ● 布置作业 p181 习题。

● 教学辅导 利用参考书，给学生辅导相关的内容。

一个元的象

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