概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章(2)

对θ求导,并令导数为零

dlnLdθ=5θ-11-θ=0,

得θL=56.

习题6

(1)设X1,X2,?,Xn来自总体X的一个样本, 且X～π(λ), 求P{X=0}的最大似然估计. (2)某铁路局证实一个扳道员五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布，求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率 p的最大似然估计，使用下面122个观察值统计情况. 下表中，r表示一扳道员某五年中引起严重事故的次数，s表示观察到的扳道员人数.

r 012345 sr 444221942 解答： (1)已知，λ的最大似然估计为λL=Xˉ. 因此 ?P{X=0}=e-λL=e-Xˉ. (2)设X为一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数，X服从参数为λ的泊松分布，样本容量n=122. 算得样本均值为 xˉ=1122×∑r=05r?r=1122×(0×44+1×42+2×21+3×9+4×4+5×2) ≈1.123, 因此 P{X=0}=e-xˉ=e-1.123≈0.3253. 习题6.3 置信区间

习题1

对参数的一种区间估计及一组观察值(x1,x2,?,xn)来说,下列结论中正确的是(). (A)置信度越大,对参数取值范围估计越准确; (B)置信度越大,置信区间越长; (C)置信度越大,置信区间越短; (D)置信度大小与置信区间有长度无关. 解答： 应选(B).

置信度越大，置信区间包含真值的概率就越大，置信区间的长度就越大，对未知参数的估计精度越低.

反之，对参数的估计精度越高，置信区间的长度越小，它包含真值的概率就越低,置信度就越小.

习题2

设(θ1,θ2)是参数θ的置信度为1-α的区间估计，则以下结论正确的是(). (A)参数θ落在区间(θ1,θ2)之内的概率为1-α; (B)参数θ落在区间(θ1,θ2)之外的概率为α; (C)区间(θ1,θ2)包含参数θ的概率为1-α;

(D)对不同的样本观察值，区间(θ1,θ2)的长度相同. 解答： 应先(C).

由于θ1,θ2都是统计量，即(θ1,θ2)是随机区间，而θ是一个客观存在的未知常数，故(A),(B)不正确.

习题3

设总体的期望μ和方差σ2均存在，如何求μ的置信度为1-α的置信区间？ 解答：

先从总体中抽取一容量为n的样本X1,X2,?,Xn.根据中心极限定理，知

U=Xˉ-μσ/n→N(0,1)(n→∞).

(1)当σ2已知时，则近似得到μ的置信度为1-α的置信区间为

(Xˉ-uα/2σn,Xˉ+uα/2σn).

(2)当σ2未知时，用σ2的无偏估计S2代替σ2, 这里仍有

Xˉ-μS/n→N(0,1)(n→∞),

于是得到μ的1-α的置信区间为

(Xˉ-uα/2Sn,Xˉ+uα/2Sn),

一般要求n≥30才能使用上述公式，称为大样本区间估计.

习题4

某总体的标准差σ=3cm, 从中抽取40个个体，其样本平均数xˉ=642cm, 试给出总体期望值μ的95%的置信上、下限(即置信区间的上、下限). 解答：

因为n=40属于大样本情形，所以Xˉ近似服从

N(μ,σ2n)

的正态分布，于是μ的95%的置信区间近似为

(Xˉ±σnuα/2),

这里xˉ=642,σ=3,n=40≈6.32,uα/2=1.96, 从而

(xˉ±σnuα/2)=(642±340×1.96)≈(642±0.93),

故μ的95%的置信上限为642.93, 下限为641.07.

习题5

某商店为了了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月平均需求量为10kg, 方差为9，如果这个商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计(α=0.01), 并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满足需求？ 解答：

因为n=100属于大样本问题，所以Xˉ近似服从N(μ,σ2/n),于是μ的99%的置信区间近似为(Xˉ±Snuα/2), 而

xˉ=10,s=3,n=100, uα/2=2.58,

所以

(xˉ±snuα/2)=(10±3100×2.58)=(10±0.774)=(9.226,10.774).

由此可知最少要准备10.774×10000=107740(kg)这种商品，才能以0.99的概率满足需求. 习题6 观测了100棵“豫农一号”玉米穗位，经整理后得下表(组限不包括上限): 分组编号 12345 组限 组中值 70～8080～9090～100100～110110～12075859510511539131626 频数 分组编号 6789 组限 组中值 120～130130～140140～150150～16012513514515520742 频数 试以95%的置信度，求出该品种玉米平均穗位的置信区间. 解答： 因为n=100属于大样本情形，所以μ的置信度为95%的置信区间上、下限近似为Xˉ±snuα/2, 这里n=100,uα/2=1.96, 还需计算出xˉ和s. 取a=115,c=10, 令zi=(xi-a)/c=(xi-115)/10, 用简单算公式， (1)xˉ=a+czˉ; (2)sx2=c2sz2. 编号 123456789 758595105115125135145155 组中值xi zi=xi-11510 -4-3-2-101234 组频率mi mizi zi2 mizi2 3913162620742 -12-27-26-1602014128 16941014916 123456789 zˉ=1100∑i=19mizi=1100×(-27)=-0.27, xˉ=10×(-27)+115=112.3, sz2=199∑i=19mizi2=199×313≈3.161616, sx2=102×3.161616=316.1616, sx≈17.78. 于是 (xˉ±snuα)≈(112.3±17.7810×1.96)≈(112.3±3.485) =(108.815,115.785). 习题7 某城镇抽样调查的500名应就业的人中，有13名待业者，试求该城镇的待业率p的置信度为0.95置信区间. 解答：

这是(0-1)分布参数的区间估计问题. 待业率p的0.95置信区间为

(p1,p2)=(-b-b2-4ac2a,-b+b2-4ac2a).

其中

a=n+uα/22,b=-2nXˉ-(uα/2)2, c=nXˉ2,

n=500,xˉ=13500,uα/2=1.96.

则(p1,p2)=(0.015,0.044).

习题8

设X1,X2,?,Xn为来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，求μ的置信度为1-α的单侧置信限. 解答：

这是一个正态总体在方差未知的条件下，对μ的区间估计问题，应选取统计量：

T=Xˉ-μS/n～t(n-1).

因为只需作单边估计，注意到t分布的对称性，故令

P{Ttα(n-1)}=1-α.

由给定的置信度1-α, 查自由度为n-1的t分布表可得单侧临界值tα(n-1). 将不等式Ttα(n-1), 即

Xˉ-μS/ntα(n-1)

分别变形，求出μ即得μ的1-α的置信下限为

Xˉ-tα(n-1)Sn.

μ的1-α的置信上限为

Xˉ+tα(n-1)Sn,

μ的1-α的双侧置信限

(Xˉ-tα/2(n-1)Sn,Xˉ+tα/2(n-1)Sn).

习题6.4 正态总体的置信区间

习题1

已知灯泡寿命的标准差σ=50小时，抽出25个灯泡检验，得平均寿命xˉ=500小时，试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计(假设灯泡寿命服从正态分布). 解答：

由于X～N(μ,502), 所以μ的置信度为95%的置信区间为

(Xˉ±uα/2σn),

这里xˉ=500,n=25,σ=50,uα/2=1.96, 所以灯泡的平均寿命的置信区间为

(xˉ±uα/2σn)=(500±5025×1.96)=(500±19.6)=(480.4,519.6).

习题2

一个随机样本来自正态总体X,总体标准差σ=1.5, 抽样前希望有95%的置信水平使得μ的估计的置信区间长度为L=1.7, 试问应抽取多大的一个样本？

解答：

因方差已知，μ的置信区间长度为

L=2uα/2?σn,

于是n=(2σLuα/2)2.

由题设知，1-α=0.95,α=0.05,α2=0.025. 查标准正态分布表得

u0.025=1.96,σ=1.5,L=1.7,

所以，样本容量

n=(2×1.5×1.961.7)2≈11.96.

向上取整数得n=12, 于是欲使估计的区间长度为1.7的置信水平为95%, 所以需样本容量为n=12.

习题3

设某种电子管的使用寿命服从正态分布. 从中随机抽取15个进行检验，得平均使用寿命为1950小时，标准差s为300小时，以95%的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信上、下限. 解答：

由X～N(μ,σ2), 知μ的95%的置信区间为

(Xˉ±Sntα/2(n-1)),

这里xˉ=1950,s=300,n=15,tα/2(14)=2.145, 于是 (xˉ±sntα/2(n-1))=(1950±30015×2.145)

≈(1950±166.151)=(1783.85,2116.15). 即整批电子管平均使用寿命的置信上限为2116.15, 下限为1783.85.

习题4

人的身高服从正态分布，从初一女生中随机抽取6名，测其身高如下(单位：cm):

149 158.5 152.5 165 157 142

求初一女生平均身高的置信区间(α=0.05). 解答：

X～N(μ,σ2),μ的置信度为95%的置信区间为

(Xˉ±Sntα/2(n-1)),

这里xˉ=154, s=8.0187, t0.025(5)=2.571, 于是 (xˉ±sntα/2(n-1))=(154±8.01876×2.571)

≈(154±8.416)≈(145.58,162.42).

习题5

某大学数学测验，抽得20个学生的分数平均数xˉ=72, 样本方差s2=16, 假设分数服从正态分布，求σ2的置信度为98%的置信区间. 解答：

先取χ2分布变量，构造出1-α的σ2的置信区间为

((n-1)S2χα/22(n-1),(n-1)S2χ1-α/22(n-1)).

已知1-α=0.98,α=0.02,α2=0.01,n=20, S2=16.

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